9人の生徒をA・B・Cの3つの部屋に分け、それぞれ2人・2人・5人になるようにする問題は、場合の数や組み合わせを学ぶときによく出題されます。このような問題では、順番を考えるのか、同じグループをまとめて考えるのかを判断することがポイントです。この記事では、9人を指定された人数の部屋に分ける方法の考え方をわかりやすく解説します。
部屋がA・B・Cと区別されているかを確認する
場合の数の問題では、まず「グループや場所に名前があるか」を確認することが重要です。
今回のようにAの部屋、Bの部屋、Cの部屋と名前が決まっている場合、それぞれの部屋は別々のものとして考えます。
例えば、同じ2人組でも「Aの部屋に入る2人」と「Bの部屋に入る2人」では意味が違うため、入る場所を考える必要があります。
まずAの部屋に入る2人を選ぶ
9人の中からAの部屋に入る2人を選びます。
これは9人から2人を選ぶ組み合わせなので、
C(9,2)=9×8÷(2×1)=36
となります。
Aの部屋に入る2人を決めると、残りの人数は7人になります。
次にBの部屋に入る2人を選ぶ
Aの部屋の2人が決まった後、残った7人からBの部屋に入る2人を選びます。
選び方は、
C(7,2)=7×6÷(2×1)=21
通りです。
ここまででAとBの部屋に入る生徒が決まり、残った5人は自動的にCの部屋になります。
9人を2人・2人・5人に分ける計算
以上の結果を掛け合わせると、全体の通り数が求められます。
C(9,2)×C(7,2)×C(5,5)
=36×21×1
=756
したがって、A・B・Cの部屋が決まっている場合、9人の生徒を2人・2人・5人に分ける方法は756通りになります。
同じ人数の部屋がある場合に注意すること
今回のようにAとBの部屋がどちらも2人用でも、部屋名が決まっている場合は入れ替えを同じものとして扱いません。
例えば、AさんとBさんがAの部屋、CさんとDさんがBの部屋に入る場合と、AさんとBさんがBの部屋、CさんとDさんがAの部屋に入る場合は別の配置になります。
一方で、「3つのグループを作るだけ」で部屋の区別がない場合は、同じ人数のグループがあるため割り算が必要になります。
その場合は、2人組の入れ替えを同じものとして考えるため、756÷2=378通りになります。
組み合わせ問題を解くときの基本手順
人数を分ける問題では、次の順番で考えると間違いが減ります。
- 部屋やグループに名前があるか確認する
- 最初のグループを組み合わせで選ぶ
- 残った人数から次のグループを選ぶ
- 最後に残った人数は自動的に決まる
例えば10人を3人・3人・4人に分ける場合でも、同じ考え方で計算できます。
場合の数では公式を暗記するだけではなく、「誰をどこに選んでいるのか」を意識すると理解しやすくなります。
まとめ｜9人を2人・2人・5人に分ける問題の考え方
A・B・Cの部屋が決まっている場合、9人の生徒を2人・2人・5人に分ける方法は、
C(9,2)×C(7,2)=36×21=756
より756通りです。
ポイントは、部屋ごとに順番に人数を選ぶことです。部屋の区別があるかないかによって答えが変わるため、場合の数の問題では最初に条件を確認する習慣をつけることが大切です。
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