群論における部分群の正規性と群の有限性の証明

この投稿では、群論に関する問題を解説します。具体的には、群 G の生成元として x, y が与えられ、x² = y² = e という条件を満たす場合、xy を生成元とする部分群 H の正規性と、H が有限群であるときに G が有限群であることを証明する問題について説明します。

1. 問題設定

群 G は、x, y ∈ G が G の生成元であり、x² = y² = e（単位元）を満たします。また、xy を生成元とする部分群 H があります。

この問題では、以下の2つを示すことが求められています。

H が G の正規部分群であるためには、任意の g ∈ G に対して gHg⁻¹ = H が成り立つことを示す必要があります。ここで、gHg⁻¹ は、g の作用を受けた H の各元で構成される集合です。

まず、g ∈ G とすると、g(xy)g⁻¹ = g(x)g⁻¹g(y)g⁻¹ となり、g の作用を受けた後も、xy は依然として H の元であり、H の元を生成します。よって、gHg⁻¹ ⊆ H が成り立つことから、H は正規部分群であると証明できます。

H が有限群であるとき、G も有限群であることを示すためには、G の元の数が有限であることを証明する必要があります。

もし H が有限群であれば、その元の数は有限であり、H が G の部分群であるため、G の元の数も有限であると結論できます。したがって、H が有限群であれば G も有限群であることが証明されます。

この問題では、H が G の正規部分群であることと、H が有限群であるときに G も有限群であることを証明しました。群論における部分群の性質や、群の有限性について理解を深めることができる内容でした。