なぜP(x)を二次式で割った余りが一次式か定数になるのか

数学において、P(x)を二次式(x-1)(x+2)で割ったとき、その余りがなぜ一次式か定数になるのかを理解することは重要です。今回はその理由について詳しく解説します。

多項式の割り算と余りの性質

多項式の割り算において、余りの次数は割る多項式の次数よりも小さくなるという性質があります。この性質は、整数の割り算で余りが割る数より小さいことと似ています。具体的には、P(x)を(x-1)(x+2)で割った余りの次数は1次以下であるため、余りは一次式または定数となります。

割り算を行った結果、商は次数が1以上の多項式で、余りは次数が0または1の多項式として残ります。このことが、余りが一次式または定数である理由です。

余りの次数の決まり方

P(x)を(x-1)(x+2)で割ったとき、商の次数はP(x)の次数から(x-1)(x+2)の次数を引いたものになります。ここで重要なのは、割り算の余りの次数は割る多項式の次数よりも小さいという点です。

(x-1)(x+2)は2次の多項式なので、P(x)をそれで割った余りは1次式または定数であることが確定します。したがって、余りが一次式または定数になるのはこの性質に基づいています。

商と余りの関係

多項式の割り算では、商と余りは次の式で表されます。

P(x) = 商(x) × (x-1)(x+2) + 余り(x)

この式において、商は(x-1)(x+2)の倍数であり、余りは一次式または定数です。つまり、P(x)がどんな多項式であっても、商を求める過程で余りの次数が割り算の多項式の次数より小さいことが保証されます。

まとめ

P(x)を二次式(x-1)(x+2)で割った余りが一次式か定数になる理由は、多項式の割り算において余りの次数は割る多項式の次数よりも小さくなるという性質に基づいています。割り算を行った結果、余りが一次式または定数として残ることになります。この基本的な法則を理解することが、数学の問題を解く上で重要なステップとなります。