数Aの合同式では、大きな数のべき乗をそのまま計算するのではなく、余りの性質を利用して簡単に求めることができます。特に6^100や2012^200のように指数が非常に大きい問題では、合同式の考え方を使うことが重要です。この記事では、具体的な計算手順と、同じような問題に使える考え方やコツを解説します。
合同式で余りを求める基本的な考え方
合同式では、ある数を割った余りだけに注目して計算します。
例えば、
a≡b(mod n)
とは、「aをnで割った余りとbをnで割った余りが同じ」という意味です。
合同式の便利な点は、掛け算や累乗でも余りだけを使って計算できることです。
例えば、
a≡b(mod n)
ならば、
a²≡b²(mod n)
のように累乗しても同じ関係が成り立ちます。
①6^100を19で割った余りを求める
まず、6を19で割った余りに注目します。
6²=36
36を19で割ると、
36≡17(mod19)
となります。
さらに計算しやすい形にするため、
6²≡17≡-2(mod19)
と考えます。
したがって、
6^100=(6²)^50
なので、
(-2)^50
になります。
ここから、2の累乗を19で割った余りを考えます。
2^5=32
なので、
2^5≡13(mod19)
さらに、
2^10≡13²=169≡17(mod19)
となります。
また、
2^20≡17²=289≡4(mod19)
したがって、
2^50=2^40×2^10
を考えると、
2^40≡4²=16≡-3(mod19)
なので、
2^50≡(-3)×17=-51≡6(mod19)
となります。
50乗は偶数なので、(-2)^50=2^50です。
よって、
6^100≡6(mod19)
となり、余りは6です。
②2012^200を7で割った余りを求める
次に2012を7で割った余りを考えます。
2012÷7を計算すると、
2012=7×287+3
なので、
2012≡3(mod7)
となります。
したがって、
2012^200≡3^200(mod7)
として考えることができます。
ここで3の累乗を周期的に調べます。
3²=9≡2(mod7)
3⁴≡2²=4(mod7)
3⁶≡4×2=8≡1(mod7)
つまり、
3⁶≡1(mod7)
となります。
200を6で割ると、
200=6×33+2
なので、
3^200=(3⁶)^33×3²
となります。
ここで、
(3⁶)^33≡1^33≡1(mod7)
なので、
3^200≡3²≡9≡2(mod7)
となります。
したがって、
2012^200≡2(mod7)
であり、余りは2です。
大きな指数の余りを求める時のコツ
合同式で大きなべき乗を計算する場合、重要なのは「周期」を見つけることです。
例えば、今回の2012^200の問題では、
3⁶≡1(mod7)
という周期を見つけたことで、200乗という大きな指数を簡単に処理できました。
一般的には以下の流れで考えると解きやすくなります。
- 底の数を割る数で割った余りに変換する
- 小さい累乗を計算して周期を探す
- 指数を周期で割る
- 余った部分だけ計算する
よく使う合同式の考え方
合同式では、計算途中で数字を小さくすることが非常に重要です。
例えば、
2012^200
をそのまま計算することは不可能ですが、
2012≡3(mod7)
と置き換えることで、3^200という簡単な問題になります。
また、
a^n
の形を見たら、まず「何乗すると1になるか」を探す習慣をつけると、多くの問題に対応できます。
まとめ
合同式では、大きな数や大きな指数をそのまま計算するのではなく、余りに置き換えて考えることがポイントです。
今回の結果は、
- 6^100を19で割った余りは6
- 2012^200を7で割った余りは2
となります。
解法のコツは、底の数を小さくすること、累乗の周期を探すこと、指数を周期で整理することです。この考え方を身につけると、合同式の余りを求める問題を効率よく解けるようになります。
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