媒介変数表示 x=t-3sin3t、y=cos3t のt→0付近のグラフの書き方を解説

媒介変数で表された曲線は、xとyの関係を直接求めるのではなく、パラメータtの変化によって点がどのように動くかを調べることでグラフを描きます。ここでは、x=t-3sin3t、y=cos3tについて、t→0の近くでどのような形になるのかを確認しながら、グラフの特徴をわかりやすく解説します。

媒介変数表示の曲線を考える基本

与えられた式はxとyがそれぞれtによって表されている媒介変数表示です。

x=t-3sin3t、y=cos3tでは、tを少しずつ変化させたときに点(x,y)がどのように移動するかを見ることでグラフを描きます。

特に「t→0のグラフ」を考える場合は、tが0に近づくときのxとyの値や変化の仕方を調べることが重要です。

まずt=0を代入して、曲線がどこを通るかを調べます。

x=0-3sin0=0、y=cos0=1となるため、曲線は点(0,1)を通ります。

したがって、t→0ではグラフは点(0,1)付近の動きを調べればよいことになります。

x=t-3sin3tについて、tが小さいときはsin3tを近似できます。

sin3tは3tに近いため、xはおおよそt-3×3t=t-9t=-8tとなります。

つまり、tが0付近ではxはtに対してほぼ直線的に変化し、tが正ならxは負方向へ、tが負ならxは正方向へ動きます。

y=cos3tについて、tが小さい場合はcos3t≈1-(9/2)t²と近似できます。

そのため、tが0付近ではyは1から少しずつ小さくなります。つまり、点(0,1)を頂点のようにして下方向へ少しずつ移動します。

このことから、t→0付近では曲線は点(0,1)から横方向へ広がりながら、わずかに下へ下がる形になります。

近似式を使うと、tが小さい範囲では曲線の形を簡単に予測できます。

x≈-8tなのでt≈-x/8となります。これをy≈1-(9/2)t²に代入すると、y≈1-(9/2)(x²/64)となります。

整理すると、y≈1-9x²/128となり、点(0,1)を頂点とする下向きの放物線に近い形になります。

媒介変数表示のグラフでは、まずtの代表的な値を代入して点を取る方法が有効です。

例えばt=0では(0,1)、tが少し正の値ではxは負方向、yは少し下がった位置になります。逆にtが少し負ならxは正方向へ移動します。

そのため、t=0付近では(0,1)を中心に左右へ広がるような曲線になり、近似すると下向きの放物線に似た形になります。

x=t-3sin3t、y=cos3tの曲線は、t=0で点(0,1)を通ります。

tが0に近い範囲では、x≈-8t、y≈1-9x²/128となるため、グラフは点(0,1)を頂点とする下向きの放物線に近い形になります。

媒介変数表示のグラフでは、値を代入して点を確認し、必要に応じて近似式を使うことで、複雑な式でも曲線の形を判断できます。