平方根を含む積分は、そのままでは計算が難しく見えることがあります。特に「∫x²√((x+2)/(x-1))dx」のように分数式と平方根が組み合わさった積分では、適切な置換を行うことが解法のポイントになります。
この記事では、x>1という条件を利用しながら、変数変換によって積分を整理し、計算の流れを詳しく解説します。
与えられた積分の形を確認する
今回計算する積分は次のものです。
∫x²√((x+2)/(x-1))dx （x>1）
平方根の中を見ると、x+2とx-1の差は3であり、分子と分母が1次式になっています。このような形では、平方根部分を簡単な形に変える置換が有効です。
x>1なので、x-1は正であり、平方根の扱いでも符号を気にせず変形できます。
平方根を簡単にする置換を考える
平方根部分に注目して、次のように置換します。
t=√((x+2)/(x-1))
両辺を2乗すると、
t²=(x+2)/(x-1)
となります。これをxについて解きます。
t²(x-1)=x+2
t²x-t²=x+2
x(t²-1)=t²+2
x=(t²+2)/(t²-1)
また、微分すると、
dx/dt=((2t)(t²-1)-(t²+2)(2t))/(t²-1)²
=-6t/(t²-1)²
したがって、
dx=-6t/(t²-1)²dt
となります。
置換後の積分式を作る
もとの積分は、
∫x²√((x+2)/(x-1))dx
でした。置換によって、
x=(t²+2)/(t²-1)、√((x+2)/(x-1))=t
となるため、
∫((t²+2)/(t²-1))²・t・(-6t/(t²-1)²)dt
になります。
整理すると、
-6∫t²(t²+2)²/(t²-1)^4dt
となります。
この形は有理関数の積分となり、部分分数分解によって処理できます。
さらに簡単な置換による別解
この積分は、平方根の中身を変形することで別の方法でも解くことができます。
√((x+2)/(x-1))=√(1+3/(x-1))
と書けるため、x-1を基準に考える方法もあります。
u=x-1と置くと、x=u+1となり、
√((x+2)/(x-1))=√((u+3)/u)
となります。この形からさらに三角関数置換や双曲線関数置換を利用することもできます。
計算結果について
この積分は初等関数だけで表すことが可能ですが、途中計算では高次の有理関数積分が現れるため、展開すると非常に長い式になります。
最終的には、部分分数分解を行った後に対数関数や有理式を含む形で表されます。
実際の計算では、置換によって平方根を消去し、有理関数積分へ変換することが最も重要なポイントです。
まとめ
∫x²√((x+2)/(x-1))dx（x>1）は、平方根を含むため一見複雑ですが、t=√((x+2)/(x-1))のような置換を利用すると計算を整理できます。
ポイントは、平方根部分を新しい変数に置き換え、xをtの有理式として表すことです。その後は有理関数の積分として処理できます。
このような積分では、式の形を観察して適切な置換を選ぶことが解答への近道になります。
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