点光源を移動すると円の影は楕円になる？光の投影と相似の関係を数学的に解説

円形の物体に光を当てたとき、できる影の形は光源の位置によって変化します。光源が円の中心軸上にある場合は円形の影になりますが、光源を横にずらした場合はどうなるのでしょうか。

この記事では、床から1メートルの位置にある真円と、その真上に置いた光源を移動させた場合の影の形について、幾何学的な考え方を使って分かりやすく解説します。

光源が円の真上にある場合、影が真円になる理由

まず、光源が円の中心の真上にある場合を考えます。このとき、光は円の中心を基準に左右対称に広がるため、床にできる影も円形になります。

例えば、床から1メートルの高さにある円盤に対して、その真上1メートルの位置に点光源を置いた場合、光源から円盤までの距離と、円盤から床までの距離が同じになります。

この場合、光の投影によってできる影は相似拡大され、影の半径は元の円の2倍になります。そのため、面積は半径の二乗に比例して4倍になります。

次に、光源を真上の位置から水平方向に3メートル移動させた場合を考えます。

この場合、光源は円の中心軸上にはありません。そのため、円盤の各部分から床へ伸びる光線の角度が場所によって異なります。

中央から見て光源に近い側と遠い側では、床への投影倍率が変化します。この違いによって、円は均等には拡大されなくなります。

結論から言うと、理想的な条件では円の影は楕円になります。

円を斜め方向から平面に投影すると、一般的には楕円として映ります。これは、円を斜めから見たときに楕円に見えるのと同じ幾何学的な現象です。

光源が横にずれることで、円盤と床の間の投影関係が斜め投影になるため、影の形は円ではなく楕円になります。

円形の影を作るためには、光が円の中心を通る対称な状態で当たる必要があります。

例えば、懐中電灯を壁に向けるとき、真正面から照らせば丸い光になりますが、斜めから照らすと横長の楕円形になります。これと同じ原理です。

今回のように光源を3メートル横へ移動すると、光は円盤に対して斜め方向から当たるため、床への投影も歪みます。

光源を移動させた場合、影の面積も単純な4倍にはなりません。

真上にある場合は、すべての方向で同じ倍率の拡大になるため計算が簡単ですが、横にずれた場合は方向によって倍率が異なります。

そのため、影の長い方向と短い方向でそれぞれ異なる倍率がかかり、楕円の長軸と短軸が決まります。

このような光による影の形成は、数学では中心投影や透視投影と呼ばれる考え方で説明できます。

カメラで写真を撮る場合も同じで、レンズという一点から対象物を平面に投影しています。そのため、円形のものを斜めから撮影すると写真上では楕円に見えます。

つまり、光源による影もカメラによる画像形成も、同じ幾何学的な仕組みによって形が変化しています。

床から1メートルの位置にある真円に対して、真上1メートルに光源を置いた場合、影は円形になり面積は4倍になります。

しかし、光源を水平方向に3メートル移動すると、光は円に対して斜めから当たるため、影は円ではなく楕円になります。

これは光の当たり方による投影の違いであり、円が斜めの平面へ投影されると楕円になるという数学的な性質によるものです。