指数法則に関する問題は、数学の基本的なテクニックを学ぶ上で非常に重要です。今回の問題は、(a ^ p + a ^ (- p)) ^ 2 – (a ^ p – a ^ (- p)) ^ 2 の形をしており、答えが4になることが分かっています。このような問題を解く際には、指数法則をしっかりと理解し、計算を進めることが必要です。この記事では、この問題をステップバイステップで解説します。
指数法則の基本
まず、指数法則について簡単におさらいします。指数法則とは、同じ基数を持つ指数を足したり引いたりする際の規則です。例えば、a ^ m × a ^ n = a ^ (m+n) や、(a ^ m) ^ n = a ^ (m×n) などがあります。このような法則を使うことで、複雑な計算を簡単に処理することができます。
今回の問題では、(a ^ p + a ^ (- p)) ^ 2 – (a ^ p – a ^ (- p)) ^ 2 の形が与えられており、指数法則を使って簡単に解くことができます。
問題の解き方
問題は次のような形です。
(a ^ p + a ^ (- p)) ^ 2 – (a ^ p – a ^ (- p)) ^ 2
まず、この式は二項式の差の二乗の形をしています。これを利用して展開を行います。
公式に従って展開すると、次のようになります。
(a ^ p + a ^ (- p)) ^ 2 = a ^ (2p) + 2a ^ 0 + a ^ (-2p)
(a ^ p – a ^ (- p)) ^ 2 = a ^ (2p) – 2a ^ 0 + a ^ (-2p)
ここで、a ^ 0 は1に等しいため、式は次のように簡略化できます。
(a ^ p + a ^ (- p)) ^ 2 = a ^ (2p) + 2 + a ^ (-2p)
(a ^ p – a ^ (- p)) ^ 2 = a ^ (2p) – 2 + a ^ (-2p)
展開した式を引き算する
次に、これらの式を引き算します。
(a ^ p + a ^ (- p)) ^ 2 – (a ^ p – a ^ (- p)) ^ 2
= (a ^ (2p) + 2 + a ^ (-2p)) – (a ^ (2p) – 2 + a ^ (-2p))
ここで、a ^ (2p) と a ^ (-2p) は同じ項なのでキャンセルされます。
2 – (-2) = 4 となるため、最終的に結果は4になります。
まとめ
この問題では、指数法則を使って式を展開し、簡単に解くことができました。最初に与えられた式 (a ^ p + a ^ (- p)) ^ 2 – (a ^ p – a ^ (- p)) ^ 2 は、二項式の差の二乗の公式を利用して展開し、引き算を行うことで答えが4になることが確認できました。指数法則を使うことで、複雑に見える問題でもスムーズに解くことができるため、公式を覚えておくと役立ちます。
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