数学では、平方根の計算で「根号を外す」問題がよく出題されます。特に「√x²」や「√(x−2)²」のような式は、そのままxやx−2にしてしまうと間違えることがあります。この記事では、√x²＋√(x−2)²を簡単にする方法を、絶対値の考え方と場合分けを使ってわかりやすく解説します。
√x²はそのままxにはならない
まず理解しておきたいのは、√x²は必ずxになるわけではないということです。
正しくは、
√x²=|x|
となります。
絶対値とは、数の大きさを表すもので、必ず0以上の値になります。例えば、x=3なら|x|=3ですが、x=-3の場合は|-3|=3になります。
つまり、負の数を平方根から外すときには、符号を調整するために絶対値が必要になります。
√(x−2)²も絶対値で表す
同じ考え方で、
√(x−2)²=|x−2|
となります。
したがって、元の式は、
√x²＋√(x−2)²=|x|+|x−2|
と変形できます。
ここからは、xの範囲によって絶対値を外していきます。
場合分けの基準は0と2
絶対値を外すためには、中身が正か負かを確認します。
|x|の場合はx=0を境に変化します。
|x−2|の場合はx−2=0、つまりx=2を境に変化します。
そのため、xの範囲は次の3つに分けて考えます。
- x<0
- 0≦x<2
- 2≦x
(1)x<0の場合の計算
x<0なので、xは負の数です。そのため、
|x|=-x
になります。
また、x<0ならばx−2も負になるため、
|x−2|=-(x−2)=-x+2
です。
したがって、
|x|+|x−2|=(-x)+(-x+2)
=-2x+2
となります。
(2)0≦x<2の場合の計算
この範囲では、xは0以上なので、
|x|=x
になります。
一方、xは2より小さいため、x−2は負です。
したがって、
|x−2|=-(x−2)=-x+2
となります。
よって、
|x|+|x−2|=x+(-x+2)
=2
になります。
(3)2≦xの場合の計算
xが2以上の場合、xは0以上なので、
|x|=x
となります。
さらに、x−2も0以上なので、
|x−2|=x−2
です。
したがって、
|x|+|x−2|=x+(x−2)
=2x−2
となります。
絶対値の問題を解くときのポイント
このような問題では、いきなり根号を外すのではなく、まず絶対値に直すことが重要です。
√a²=|a|
という形を覚えておけば、同じような問題にも対応できます。
また、絶対値の中身が0になる場所を探すことも大切です。今回の場合は0と2が境目になり、その場所を基準に場合分けを行います。
まとめ｜√x²＋√(x−2)²は絶対値に直して場合分けする
√x²＋√(x−2)²の計算では、まず
√x²＋√(x−2)²=|x|+|x−2|
に変形します。
その後、xの範囲ごとに絶対値を外すことで、答えを求めることができます。
最終的な結果は、
x<0の場合：-2x+2
0≦x<2の場合：2
2≦xの場合：2x−2
となります。
根号と絶対値の関係を理解すると、このタイプの問題は決まった手順で解けるようになります。
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