二次方程式の計算では、途中式の意味が分からないまま答えだけ覚えてしまうと、少し形が変わった問題で迷ってしまいます。今回は「x²+5x−25=0」の解き方を例に、なぜ答えが「x=(-5±5√5)/2」になるのかを、解の公式の使い方から順番に解説します。
二次方程式 x²+5x−25=0 の基本を確認する
二次方程式は、一般的に「ax²+bx+c=0」という形で表されます。この形に合わせることで、解の公式を使って答えを求めることができます。
今回の式「x²+5x−25=0」を比較すると、a、b、cはそれぞれ次のようになります。
a=1
b=5
c=-25
この3つの値を使って計算していきます。
解の公式に数字を代入する
二次方程式「ax²+bx+c=0」の解は、次の解の公式で求められます。
x=(-b±√(b²-4ac))/2a
ここにa=1、b=5、c=-25を代入します。
x=(-5±√(5²-4×1×(-25)))/(2×1)
まず、ルートの中を計算します。
5²=25なので、
x=(-5±√(25+100))/2
となります。
平方根の部分を整理する
次に、ルートの中を整理します。
25+100=125なので、
x=(-5±√125)/2
となります。
ここで、√125を簡単にします。125は「25×5」と考えられるため、
√125=√(25×5)=√25×√5=5√5
になります。
したがって、
x=(-5±5√5)/2
となり、求められていた答えの形になります。
±（プラスマイナス）が表している意味
答えにある「±」は、1つの答えではなく2つの答えがあることを表しています。
つまり、
x=(-5+5√5)/2
と
x=(-5-5√5)/2
の2つが二次方程式の解になります。
二次方程式のグラフは放物線になるため、x軸と交わる場所が2つ存在する場合があります。そのため、解も2つになることが多いです。
解の公式を使うときのポイント
二次方程式を解くときは、まず「ax²+bx+c=0」の形に整理することが重要です。符号を間違えると、その後の計算がすべて変わってしまいます。
特に注意したいのは、今回のような「-25」の部分です。c=-25なので、解の公式の「-4ac」に代入すると、
-4×1×(-25)=+100
になることを確認しましょう。
また、平方根の計算では√125をそのままにせず、5√5のように簡単な形にすると最終的な答えになります。
まとめ｜x²+5x−25=0は解の公式で順番に計算すれば解ける
二次方程式「x²+5x−25=0」は、解の公式にa=1、b=5、c=-25を代入することで解くことができます。
計算の流れは、解の公式へ代入する→ルートの中を計算する→平方根を簡単にする、という順番です。
x=(-5±√125)/2から√125=5√5に変形する部分がポイントで、ここを理解できれば同じような二次方程式も解けるようになります。
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