数学Iで扱う命題と対偶は、条件の否定を正しく理解することが重要な分野です。特に「a・b・cのうち奇数の個数は1個または2個である」という命題では、対偶を作る際の「否定」の考え方が分かりにくい場合があります。この記事では、この命題の対偶がなぜ「a・b・cがすべて偶数またはすべて奇数である」と表されるのかを、具体例を使って解説します。
命題と対偶の基本的な作り方
まず、命題「pならばq」があるとき、その対偶は「qでないならばpでない」となります。
つまり、命題の前半（仮定）と後半（結論）を入れ替え、それぞれを否定したものが対偶です。元の命題と対偶は必ず同じ真偽になります。
例えば、「雨が降れば地面が濡れる」という命題の対偶は、「地面が濡れていなければ雨は降っていない」となります。
元の命題を整理する
今回考える命題は、「a・b・cのうち奇数の個数は1個または2個である」というものです。
この文章を数学的に整理すると、「a、b、cの中に奇数があるが、その個数は1個または2個であり、0個でも3個でもない」という意味になります。
つまり、元の命題の結論は「奇数の個数が1個または2個である」という条件です。
結論の否定を考える
対偶を作るためには、まず結論部分を否定します。
「奇数の個数が1個または2個である」の否定は、「奇数の個数が1個でも2個でもない」です。
ここで注意が必要なのは、a・b・cの3個の数について考えているという点です。3個の数の中で奇数の個数としてあり得るのは、0個、1個、2個、3個の4通りだけです。
「1個または2個ではない」が「0個または3個」になる理由
奇数の個数の可能性は、次の4種類しかありません。
| 奇数の個数 | 状態 |
|---|---|
| 0個 | a・b・cがすべて偶数 |
| 1個 | 奇数が1つ、偶数が2つ |
| 2個 | 奇数が2つ、偶数が1つ |
| 3個 | a・b・cがすべて奇数 |
この中で「1個または2個ではない」に該当するのは、0個または3個です。
そして、奇数の個数が0個ということは、3つとも奇数ではないため、すべて偶数ということになります。また、奇数の個数が3個なら、3つとも奇数です。
したがって、「奇数の個数が1個または2個でない」は、「a・b・cがすべて偶数またはすべて奇数」と言い換えることができます。
対偶の形にするとどうなるか
元の命題を「a・b・cのうち奇数の個数は1個または2個である」とすると、対偶ではこの結論を否定したものを仮定側に置きます。
つまり、「a・b・cがすべて偶数またはすべて奇数ならば、a・b・cのうち奇数の個数は1個または2個ではない」となります。
問題文によっては、この否定部分だけを取り出して「対偶を考える」と説明されることがあります。そのため、「すべて偶数またはすべて奇数」という表現が登場します。
命題の否定で間違いやすいポイント
数学の命題では、「AまたはB」の否定は「Aではなく、Bでもない」となることに注意が必要です。
今回の場合、「奇数が1個または2個」の否定は、「奇数が1個ではない、かつ2個ではない」という意味になります。
その結果、可能性として残るのが0個と3個だけになり、それぞれ「すべて偶数」「すべて奇数」と表現されます。
まとめ｜対偶では否定後の可能性を整理することが大切
「a・b・cのうち奇数の個数は1個または2個である」という命題の対偶を考えるときは、まず結論の否定を考えます。
3つの数の場合、奇数の個数は0個、1個、2個、3個しかありません。そのため、1個または2個でない場合は0個または3個となります。
そして0個は「すべて偶数」、3個は「すべて奇数」を意味するため、「a・b・cがすべて偶数または奇数」という表現になります。命題の対偶では、言葉の否定を正しく整理することが解法のポイントです。
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