「2^x = x^2」という方程式について、x < 0の範囲で実数解がただ一つであることを示すために、中間値定理を使用した解法が紹介されています。問題では、f(x) = 2^x - x^2という関数を使い、連続性や極限の計算を行っています。この記事では、この中で疑問が生じた「lim x→-∞ f(x) = -∞」をなぜ示す必要があるのか、そしてなぜxを-0に近づけることはダメなのかについて詳しく解説します。
f(x) = 2^x – x^2の連続性とその役割
f(x) = 2^x – x^2の関数は、実数全体で連続です。この関数の連続性を理解することは、問題を解くための第一歩です。連続性があるからこそ、f(x)が定義されている範囲で中間値定理を適用でき、解が存在することを示すことができます。
中間値定理を適用するためには、関数が連続であり、かつ関数が異なる符号を持つ2点で評価されていることが必要です。この点を確認するために、f(0) = 1と計算し、f(x)がx → -∞でどのように振る舞うかを調べます。
lim x→-∞ f(x) = -∞ を示す理由
まず、f(x) = 2^x – x^2を考える際に、xが-∞に近づくときの挙動を確認します。2^xはxが小さくなるほど非常に小さくなり、最終的に0に近づきます。一方、x^2はxが小さくなるほど大きくなります。よって、x → -∞のとき、x^2は無限大に向かい、2^xの影響は無視できるほど小さくなります。
これを踏まえると、lim x→-∞ f(x) = lim x→-∞ (2^x – x^2) = -∞となります。これは、xが負の無限大に向かうとき、x^2が非常に大きな負の値に支配されるためです。
xを-0に近づけるのではない理由
質問者が「xを-0に近づける」と書いていますが、これはf(x)がx = 0の周りでどのように振る舞うかを調べることに過ぎません。x = -∞を考える理由は、問題がx < 0の範囲で解を求めることを求めているからです。x = -0は関数が連続的に変化する点に過ぎず、問題の範囲における解の存在を証明するためには、xが負の無限大に向かう極限を調べる必要があります。
したがって、x = -0に近づけることではなく、x → -∞における挙動を調べることが重要です。この極限の計算により、f(x)が負の無限大に向かうことを確認し、さらに中間値定理を使って解が存在することを示すことができます。
まとめ
方程式2^x = x^2の解法において、中間値定理を使うためには、f(x) = 2^x – x^2が連続であることを確認することが必要です。そして、f(x)がx → -∞で-∞に近づくことを確認することで、この範囲にただ一つの実数解が存在することを証明できます。xを-0に近づけるのではなく、x → -∞の極限を考えることで、問題を正しく解くことができることがわかります。
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