3次式の求め方：x^2+1で割った余りとx^2-x+1で割った余りから解く方法

この問題では、与えられた余りに基づいて3次式を求める方法を解説します。まず、x^2+1で割った余りがx-1であること、x^2-x+1で割った余りが5x-3であることが与えられています。これらの情報を使って、どのように3次式を求めるかを順を追って説明します。

1. 問題の理解

まず、問題文に登場する3次式を一般的に表現します。3次式は次のように書けます。

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

ここで、a、b、c、dは定数です。この式をx^2+1で割ったときの余りがx-1であり、x^2-x+1で割ったときの余りが5x-3であるという条件が与えられています。

余り定理を使って、与えられた余りに基づいて式を立てます。まず、f(x)をx^2+1で割った場合、余りがx-1になります。これにより、次の式が成り立ちます。

f(x) = (x^2 + 1)q(x) + (x – 1)

ここで、q(x)は商の多項式です。次に、f(x)をx^2-x+1で割った場合、余りが5x-3になります。この式も同様に。

f(x) = (x^2 – x + 1)r(x) + (5x – 3)

ここで、r(x)は別の商の多項式です。

与えられた条件をもとに、f(x)を一般的な形で表し、それを連立方程式に変換して解いていきます。ここで、まずf(x)をx^3の項まで展開し、x^2、x、定数項の係数を比較することで、a、b、c、dの値を求めることができます。

この方法を使って、3次式の具体的な形を求めていきます。

最終的に求めた3次式が問題の条件を満たすかどうかを確認します。得られた式を再度x^2+1で割ったときの余りとx^2-x+1で割ったときの余りを確認し、正しい解が得られたことを確認します。

このようにして、3次式を求めることができます。数学的な操作を順を追って行うことで、問題を解くことができるのです。