四則演算を1つの演算で表せるのか？実数・複素数における演算の統一化について解説

数学では、複数の基本的な演算をより少ない種類の演算で表現できるかという問題が古くから研究されています。論理学におけるNAND演算のように、1つの演算だけですべての論理演算を構成できる例は有名です。

では、実数や複素数における四則演算（加法・減法・乗法・除法）も、1種類の演算だけで統一的に表現することは可能なのでしょうか。この記事では、代数学的な考え方から、このような演算の統一化について解説します。

NAND演算が1つで論理を表現できる理由

命題論理におけるNAND演算は、2つの命題PとQに対して「PとQが同時に真ではない」という意味を持つ演算です。

NANDだけで否定、論理積、論理和、含意などを作れる理由は、論理演算の構造が有限個の状態（真と偽）を扱う代数構造になっているためです。

つまり、NANDという1種類の演算が、その論理体系を表現するのに十分な情報を持っていると言えます。

実数や複素数の場合でも、数学的には1つの二項演算から他の演算を構成することは可能です。

二項演算とは、2つの数を入力すると1つの数を出力する規則のことです。例えば通常の足し算は、実数a,bに対してa+bを対応させる二項演算です。

しかし、NANDの場合と異なり、実数全体では扱う対象が無限に存在するため、単純な形で四則演算すべてを再現することは難しくなります。

質問中にあるm＊n:=-(m+n)という定義は、実際に新しい演算を作る考え方の一例です。

この演算では、0を利用することで、m＊0=-mとなり、さらに(m＊n)＊0=m+nとなります。つまり、この新しい演算から元の足し算を復元できます。

これは代数学でいう「演算の置き換え」の考え方であり、特定の条件を満たせば1つの演算から別の演算を定義できます。

実は、集合と演算の構造を考えると、複数の演算を1つにまとめる方法はいくつか存在します。

例えば、実数全体では「特殊な符号化」を利用することで、足し算・引き算・掛け算・割り算を1つの演算から復元するような構成を作ることができます。

ただし、そのような演算は通常の四則演算より複雑になり、人間が計算に使う自然な演算とは大きく異なります。

つまり「存在するか」という数学的な問いには肯定的に答えられますが、「NANDのように簡単で便利なものがあるか」という意味では別問題になります。

実数や複素数は数学では「体（field）」という代数構造を持っています。

体では加法、減法、乗法、除法が互いに関連しており、0以外の数には逆数が存在します。

例えば引き算は、a-b=a+(-b)として足し算と逆元で表せます。また割り算もa÷b=a×(1/b)として掛け算と逆元で表せます。

このため、四則演算は実際には加法と乗法、さらにそれらに対応する逆操作によって構成されていると考えることができます。

数学では、演算の数を減らすこと自体よりも、その構造を理解することが重要です。

NANDが重要なのは、単に記号を減らせるからではなく、論理体系の本質を表しているからです。

同じように、四則演算を1つにまとめることは可能でも、実用上は加法や乗法を使ったほうが圧倒的に自然で分かりやすいため、通常の数学では四則演算が使われています。

実数や複素数上で、和差積商を1つの演算から表現することは数学的には可能です。

ただし、NAND演算のように単純で直感的な1つの演算ですべてを扱えるという意味ではありません。実数や複素数では、演算の構造がより複雑であり、統一化すると別の複雑な規則が必要になります。

四則演算はすでに加法・乗法・逆元という形で深く統一されており、数学的にはその構造を理解することが、単に記号を減らすこと以上に重要だと言えます。