一次独立、生成系、基底の関係と証明方法について

線形代数において、一次独立、生成系、基底の関係について理解することは非常に重要です。しかし、基底であることを証明する際に、なぜ「一次独立」かつ「生成系」であることをそれぞれ示さないといけないのかについて疑問を持つことがあります。本記事では、この関係と証明方法について解説します。

一次独立、生成系、基底とは？

線形代数における基本的な概念である「一次独立」「生成系」「基底」について、まずはそれぞれの意味を確認しておきましょう。

一次独立：ベクトルの集合が一次独立であるとは、その集合の中のどのベクトルも他のベクトルの線形結合で表すことができないということです。

生成系：あるベクトル空間の生成系とは、そのベクトル空間をすべての線形結合で表せるようなベクトルの集合です。

基底：ベクトル空間の基底は、そのベクトル空間のすべてのベクトルを一意的に表現できる一次独立な生成系の集合です。

「基底であること」を証明するためには、まずその集合が一次独立であり、かつその集合が生成系であることを示す必要があります。

理由：「基底」であるためには、その集合がそのベクトル空間の生成系であり、かつ一次独立である必要があるからです。もし一次独立でない場合、その集合には冗長なベクトルが含まれていることになります。また、生成系でない場合、その集合だけでは空間を完全に表現することができません。

基底が一次独立であり、かつ生成系であることを証明するための流れは以下のようになります。

この2つの条件を満たすことで、その集合が基底であると結論できます。

基底であることを証明する際に「一次独立」と「生成系」の2つを示さなければならない理由は、基底の定義がこの2つの条件を含んでいるからです。それぞれの条件を確認し、確実に基底であることを証明できるようにしましょう。