原点中心でない円の接線の公式と証明について

原点を中心としない円の接線の公式は、入試で使っても問題ないかという疑問を持つ方が多いです。今回は、この公式が実際に使えるかどうかと、その証明の簡単な書き方について解説します。

原点中心でない円の接線の公式

円の接線の公式は、一般的には円の方程式と接点の座標を使って求めることができます。もし円の方程式が(x – a)² + (y – b)² = r² で与えられ、接点が(x₀, y₀)の場合、接線の方程式は次のように表せます。

　　(x₀ – a)(x – a) + (y₀ – b)(y – b) = r²

この公式は、原点中心でない円でも適用可能です。ただし、問題文で接線を求める際に公式を使う場合は、与えられた円の中心や半径、接点の座標が明確であることが前提となります。

公式自体は正確であり、適切に証明されているため、入試でも使用することができます。しかし、入試で使用する際には、与えられた問題の条件を確認し、接線の公式をどのように導き出すかが重要になります。

問題文に円の方程式や接点の座標が与えられている場合、この公式を使って接線を求めることができます。しかし、公式をそのまま使うだけでなく、証明や導出を簡潔に行うことも求められる場合があるので注意が必要です。

接線の公式の証明を簡単に説明します。まず、円の中心が(a, b)、半径がrの円があるとします。この円の方程式は (x – a)² + (y – b)² = r² です。

次に、この円に対する接線が(x₀, y₀)という点で接しているとき、接線と円の半径が垂直であることを考えます。この条件を基に、円の中心から接点へのベクトルと接線ベクトルの内積がゼロであることから、接線の方程式を導出することができます。

原点中心でない円の接線の公式は、入試でも十分に使用可能です。公式を使う際は、問題文の条件をしっかりと理解し、接線を求める公式を適切に適用しましょう。また、証明を簡潔に示すことも求められる場合があるため、その方法を理解しておくことが重要です。