高校数学：媒介変数 t と式の範囲の違いについて

この問題は、媒介変数として t を使う場合と、t を使わずに考える場合で、式がどのように変わるかを考察するものです。問題の式における t の役割、そして t が媒介変数かどうかによって実数の範囲が変わるかどうかについて説明します。

式の確認と問題設定

問題では、2つの式が与えられています。

最初の式から t の値を求め、次に y の値を求めることで x と y の関係を見つける問題です。この問題の鍵は、t が媒介変数かどうかによって、x と y の範囲がどのように変わるかを理解することにあります。

t を媒介変数として使う場合、t² = x + 1 より、x = t² – 1 となります。ここで重要なのは、t² が常に 0 以上の値を取るため、x の値も 0 以上でなければならない点です。つまり、x ≥ -1 という条件がつきます。

さらに、y = -2x + 1 の式に x = t² – 1 を代入すると、y = -2(t² – 1) + 1 となります。このようにして、t の値に応じた y の値も求めることができます。t は実数であれば、x および y も実数として解を得ることができます。

t を媒介変数として使わない場合、t は単なる未知数として扱うことができます。したがって、t に複素数の値を代入することも可能です。この場合、x = t² – 1 の式によって x の値は任意の複素数になる可能性があります。つまり、x や y が実数でなくなることもあります。

このように、t を媒介変数として使わない場合、t が複素数の値を取ることが許されるため、x および y の範囲が広がり、実数だけでなく複素数も含まれる可能性があることがわかります。

この問題において、t を媒介変数として使う場合は、x や y の値が実数範囲に限定されるため、x ≥ -1 という条件がつきます。しかし、t を単なる未知数として使う場合は、t が複素数の値を取ることが許されるため、x や y は実数だけでなく複素数を取る可能性があります。

要するに、t を媒介変数として使うか使わないかで、x および y の範囲が変わることになります。媒介変数を使うことで、実数解に制限されることが理解できるとともに、複素数解を許容する場合には範囲が広がることがわかります。