3次方程式が二重解を持つ問題では、同じ解が2回登場するという特徴を利用して考えます。特に「二重解を持つとき定数の値を求める」タイプの問題は、微分や因数分解の考え方を使うことで解くことができます。この記事では、3次方程式x³+(a-4)x-2a=0が二重解を持つ条件を利用して、aの値を求める流れを詳しく解説します。
3次方程式が二重解を持つとはどういうことか
3次方程式が二重解を持つとは、ある解が2回重なって存在する状態のことです。例えば、3次方程式が(x-α)²(x-β)=0の形に因数分解できる場合、x=αは二重解になります。
二重解を持つ場合、そのグラフではx軸と接する点ができます。通常の3次方程式ではx軸と交わるだけですが、二重解の場所では接するため、傾きが0になります。
この性質を利用すると、方程式とその微分した式を同時に満たす値を探すことで二重解を求めることができます。
問題の3次方程式を整理する
与えられた方程式は、
x³+(a-4)x-2a=0
です。この式をf(x)と置きます。
f(x)=x³+(a-4)x-2a
二重解を持つ場合、二重解をx=bとすると、
f(b)=0
さらに接する条件から、
f'(b)=0
も成立します。
微分を利用して二重解の条件を作る
まずf(x)を微分します。
f'(x)=3x²+a-4
二重解をx=bとすると、
3b²+a-4=0
となります。
ここからaについて整理すると、
a=4-3b²
となります。
この式を元の方程式に代入して、bの条件を求めます。
元の方程式に代入して二重解を求める
f(b)=0なので、
b³+(a-4)b-2a=0
ここにa=4-3b²を代入します。
b³+((4-3b²)-4)b-2(4-3b²)=0
整理すると、
b³-3b³-8+6b²=0
-2b³+6b²-8=0
両辺を-2で割ると、
b³-3b²+4=0
となります。
この式を因数分解します。
b³-3b²+4=(b-2)²(b+1)
したがって、
b=2 または b=-1
となります。
それぞれの二重解からaの値を求める
求めたbの値を、a=4-3b²に代入します。
まずb=2の場合、
a=4-3×2²=4-12=-8
となります。
次にb=-1の場合、
a=4-3×(-1)²=4-3=1
となります。
よって、二重解を持つための定数aは、
a=-8、またはa=1
となります。
別解として因数分解から考える方法
二重解を持つ3次方程式では、重解をαとすると、式は
(x-α)²(x-β)
の形になります。
この形に展開した係数と元の方程式の係数を比較する方法でも解くことができます。ただし、今回のように文字を含む3次方程式では、微分を使った方法の方が計算量が少なく、効率的です。
高校数学では、3次方程式の重解条件として「f(x)=0かつf'(x)=0」という考え方を覚えておくと、多くの問題に対応できます。
まとめ｜二重解を持つ3次方程式は微分で条件を作る
3次方程式が二重解を持つ場合、その解では関数の値が0になるだけでなく、接線の傾きも0になります。そのため、方程式と微分した式を同時に利用することができます。
今回の問題では、f(x)=x³+(a-4)x-2aとして、f(x)=0とf'(x)=0を利用することで、二重解となる値を求めました。
最終的に求められる定数aはa=-8、a=1です。このような問題では、二重解という言葉を見たら「元の式と微分した式をセットで考える」ということを意識すると解きやすくなります。
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