高校数学の組合せでは、「何人かをグループに分ける方法が何通りあるか」という問題がよく出題されます。このような問題では、順番を考えるのか、同じグループとして扱うのかを正しく判断することが重要です。この記事では、7人の生徒を2人・2人・3人の3つの組に分ける場合を例に、考え方や計算方法を分かりやすく解説します。
組分け問題で最初に考えるべきポイント
組分けの問題では、まず「グループに名前があるかどうか」を確認する必要があります。
例えば、A組・B組・C組という名前付きのグループに分ける場合と、単純に3つのグループを作る場合では答えが変わります。
今回のように「2人、2人、3人の3つの組に分ける」という場合、2人組同士は区別せず、3人組だけが人数の違いによって区別できます。
まず7人から3人組を選ぶ
7人の中から3人組になる人を選びます。
7人から3人を選ぶ方法は、組合せを使って
7C3＝7×6×5÷(3×2×1)＝35
通りあります。
3人組が決まれば、残った4人は自動的に2人組と2人組に分かれることになります。
残った4人を2人ずつに分ける
残った4人を2人ずつの2組に分ける方法を考えます。
4人の中から最初の2人を選ぶと、
4C2＝6
通りあります。
しかし、ここでは注意が必要です。例えば、AさんとBさんの組、CさんとDさんの組という分け方と、CさんとDさんの組、AさんとBさんの組は同じ分け方です。
そのため、2組の順番を区別しないように2で割ります。
6÷2＝3
となり、4人を2人ずつに分ける方法は3通りです。
全体の組分けの数を求める
3人組の選び方が35通りあり、その後の2人組への分け方が3通りあるため、全体では掛け算を使います。
35×3＝105
したがって、7人の生徒を2人、2人、3人の3つの組に分ける方法は105通りになります。
公式を使った別の考え方
組分け問題では、階乗を使った公式で考えることもできます。
7人をまず並べると7!通りあります。そこから、同じ組の中の順番を無視するために、2人組は2!、2人組は2!、3人組は3!で割ります。
さらに、2人組同士は入れ替えても同じ組分けなので、2!で割ります。
式にすると、
7!÷(2!×2!×3!×2!)
となります。
計算すると、
5040÷(2×2×6×2)＝5040÷48＝105
となり、先ほどの方法と同じ答えになります。
組分け問題で間違えやすいポイント
組分け問題で多いミスは、「同じ人数のグループを区別して数えてしまうこと」です。
今回の場合、2人組を第1グループ、第2グループのように名前付きで考えると、本来同じ分け方を重複して数えてしまいます。
例えば、AさんとBさん、CさんとDさんが2人組になった場合と、CさんとDさん、AさんとBさんが2人組になった場合は、実際には同じ組分けです。
そのため、同じ役割のグループがある場合は、入れ替えによる重複をなくすことが重要です。
まとめ
7人の生徒を2人、2人、3人の3組に分ける問題では、まず3人組を選び、残った4人を2人ずつに分けると考えると分かりやすくなります。
計算は「7人から3人を選ぶ方法」と「残り4人を2組に分ける方法」を掛け合わせ、
7C3×(4C2÷2)＝35×3＝105
となります。
組合せ問題では、グループの順番を区別するのか、同じ人数のグループを区別しないのかを判断することが最も大切です。この考え方を身につけると、さまざまな組分け問題に対応できるようになります。
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