絶対値方程式 |z|=aはz=±aでよいのか？複素数の基本的な考え方を解説

複素数の絶対値の方程式「|z|=a」を見たときに、「z=±aと考えてよいのか？」という疑問は非常に自然なものです。本記事では、この考え方がなぜ正しい場合と正しくない場合があるのかを、複素数の定義から整理します。

絶対値|z|の意味を正しく理解する

複素数zは一般に z = x + yi（x,yは実数）と表されます。

このとき絶対値|z|は原点からの距離であり、|z| = √(x² + y²) です。

つまり|z|=aは「複素平面上で原点から距離aの点全体」を意味します。

実数だけの場合、|x|=aはx=±aと1次元で表せます。

しかし複素数は2次元平面なので、解は「点の集合」になります。

そのため単純に±で表すことはできません。

z=±aとすると、実数軸上の2点しか表せません。

しかし|z|=aの解は円周上すべての点であり、無限個存在します。

例えばa=1なら、z=1, -1だけでなく i, -i, (√2/2 + √2/2 i) なども含まれます。

|z|=aは複素平面上で中心0・半径aの円を表します。

したがって解は「z = a(cosθ + i sinθ)（0≤θ<2π）」と表すのが一般的です。

この形ならすべての解を漏れなく表現できます。

「±」は1次元の対称性を表す記号であり、複素数には直接適用できません。

複素数では「角度」という自由度が増えるため、解も連続的に広がります。

そのため図形的に捉えることが理解の近道になります。

|z|=aはz=±aではなく、複素平面上の円を表します。

実数の感覚だけで処理すると誤解しやすい典型的な問題です。

複素数では「距離」と「角度」で捉えることが重要です。