本記事では、分母が一次式の積になっている級数 ∑ x^2/((n-1)x+1)(nx+1) の一様収束性を、構造を見抜くことで明快に判定します。部分分数分解により「差の形」を作ることが鍵となります。
級数の形を確認する
与えられた級数は
∑[n=1,∞] x^2 / ((n-1)x+1)(nx+1)
という形です。
分母に連続する線形項が含まれており、テレスコーピング化が期待できる構造です。
部分分数分解で差の形を作る
次の恒等式を考えます。
x^2 / ((n-1)x+1)(nx+1) = A/( (n-1)x+1 ) + B/(nx+1 )
これを解くと A = -x, B = x となります。
よって各項は x( 1/((n)x+1) – 1/((n-1)x+1) ) に変形できます。
テレスコーピング構造の確認
級数は差の和として書けます。
∑ x(1/(nx+1) – 1/((n-1)x+1))
このため部分和ではほとんどの項が相殺されます。
部分和の計算
部分和 S_N(x) は
S_N(x) = x(1/(Nx+1) – 1/(0·x+1)) = x(1/(Nx+1) – 1)
となります。
したがって極限関数は f(x) = -x です。
一様収束性の判定
|S_N(x) – f(x)| = x/(Nx+1) を評価します。
0≤x≤1なので sup は 1/(N+1) に抑えられます。
よって一様に0へ収束します。
結論：一様収束する
この級数は[0,1]上で一様収束し、その極限関数は f(x) = -x です。
部分分数分解により差の構造を見抜くことが本質でした。
このタイプは典型的なテレスコーピング級数の応用例です。
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