数列の問題で「どこからどこまでがnになるのか」を不等式で表すとき、<と≤の使い分けに疑問を持つことはよくあります。本記事では、数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…において (1/2)n(n-1) < i ≤ (1/2)n(n+1) の形になる理由と、なぜ左側を「≤にしないのか」という本質を解説します。
この数列の構造をまず理解する
この数列は「1が1個、2が2個、3が3個、4が4個…」という構造になっています。
つまりnが増えるごとに、その数がn個ずつ連続して並ぶ仕組みです。
例えば3は「2個目の2の次」から「3個分」並びます。
区間の意味：どこからどこまでnかを決める
nが出てくる位置は「累積個数」で決まります。
1までの合計：1、2まで：3、3まで：6、4まで：10というように三角数になります。
そのためnの範囲は「(n-1)までの合計＋1」から「nまでの合計」になります。
なぜ左側が「
(1/2)n(n-1)は「n-1までの最後の位置」です。
その位置はすでにnではなく(n-1)なので、nの範囲には含めません。
そのため「そこを含まない」という意味で不等号は < になります。
なぜ「≤にしてはいけないのか」
もし (1/2)n(n-1) ≤ i としてしまうと、その境界のiがどちらの値か曖昧になります。
実際にはその位置はすでに(n-1)に属しているため、nの範囲に含めると重複が起きます。
区間の重なりを防ぐために、左端は必ず「開区間」になります。
右側が「≤」になる理由
右側 (1/2)n(n+1) は「nが最後に出る位置」です。
その位置のiは確実にnであるため、含めてよい境界になります。
よって右側は「閉区間」として ≤ が使われます。
まとめ
この問題の本質は「どの値がどの区間に属するかを重複なく分ける」ことです。
左端はすでに前の数列に属しているため <、右端はその値に属するため ≤ になります。
不等号は単なる記号ではなく、数列の“所属関係”を正確に表すための重要なルールです。
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