6個の文字（a,a,b,c,d,e）を2個ずつ3組に分ける方法の数え方と解き方

組合せ問題では「同じものを含む集合をペアに分ける」タイプの問題があり、見た目以上に整理の仕方が重要になります。本記事では、6個の文字 a,a,b,c,d,e を2個ずつ3組に分ける方法の数え方について、重複の扱い方を含めてわかりやすく整理します。

問題の整理：何を数えるのか

まず、この問題は「6つの要素をペアに分割する方法」を数える問題です。

ただし a が2個あるため、完全に異なる6個ではなく「同一要素を含む組合せ」として扱う必要があります。

重要なのは「ペアの順序も、組の順序も区別しない」という点です。

6個の異なる要素なら、まず1つのペアを作る方法は 6C2 です。

残り4つから次のペアを作るのは 4C2、最後は自動的に決まります。

しかしこのままだと「3組の順序違い」を重複して数えてしまいます。

3つのペアは順序がないため、3! = 6通りの重複があります。

したがって基本形は (6C2 × 4C2 × 2C2) ÷ 3! で計算します。

これにより「ペアの並び替え」を正しく除外できます。

ここで a が2個あるため、実質的には「区別できない要素」を含む場合の処理が必要です。

a同士のペア（a,a）は1通りしかないため、場合分けで整理するとミスが減ります。

① (a,a) を1組に固定し、残りを b,c,d,e でペアにする場合を考えます。

① a,a を1組にする場合。

b,c,d,e を2組に分ける → 3通り

② a を別々の組に分ける場合。

残り b,c,d,e と組み合わせて整理すると 12通りになります。

よって合計は 3 + 12 = 15通りです。

この問題は「重複要素を含む組分け」と「ペア分割の重複除去」がポイントです。

機械的に公式へ当てはめるよりも、aの扱いで場合分けする方が確実に整理できます。

組合せ問題では「同じものがあるかどうか」で考え方が大きく変わるため、その見極めが重要になります。