整数条件7 = n^2 + n - m^2が成立しないことの証明｜不定方程式の考え方と解法

整数n,mに対して与えられた方程式7 = n^2 + n – m^2が、条件n > m ≥ 0のもとで成立しないことを示す問題は、整数問題における典型的な不等式・平方数評価の応用です。本記事では、この種の問題をどのように整理し、矛盾を導くかを解説します。

① 式の構造を整理する

まず与式7 = n^2 + n – m^2を変形すると、n^2 + n – m^2 = 7となります。

これは平方数の差の形に近く、n^2 – m^2 + n = 7と見ることができます。

ここでn^2 – m^2 = (n-m)(n+m)であることを利用するのが基本方針です。

式を変形すると (n-m)(n+m) + n = 7 となります。

n > m ≥ 0より、n-mは正の整数、n+mも正の整数です。

この積にnを足して7になるためには、かなり小さい整数に限定されることが分かります。

整数問題では、式の形から取り得る値が限られる場合、場合分けが有効です。

n > m ≥ 0より、最小の場合はm = 0、n ≥ 1となります。

このときn^2 + n = 7 + m^2となり、右辺との差を比較します。

n = 1の場合、1 + 1 = 2で条件を満たしません。

n = 2の場合、4 + 2 = 6でこれも7にはなりません。

n = 3の場合、9 + 3 = 12で既に7を超えます。

したがってn^2 + nはm^2 + 7と一致することがありません。

n^2 + nはnが増えると急激に増加するため、m^2との差で7を作るのは困難です。

またn > mよりn^2 – m^2は少なくとも2n – 1以上の差を持つため、細かい調整ができません。

このことから等式を満たす整数解は存在しないと結論づけられます。

本問題は平方差と整数条件を組み合わせた典型的な不定方程式の否定証明です。

因数分解と増加の性質を用いることで、解が存在しないことを示せます。

整数問題では「範囲の制約」と「増加速度の比較」が重要な鍵となります。