サイコロを1回振り、気に入らなければ1回だけ振り直せるゲームにおいて「期待値を最大化するにはどのように判断すべきか」という問題は、確率と意思決定の基本的な考え方を理解する良い題材です。本記事では、なぜ「出た目が期待値より小さいなら振り直す」というルールが成立するのかを、直感ではなく数式的に説明します。
① この問題の本質：選択後の期待値を最大化する
このゲームの本質は「1回目の結果を受け入れるか、もう一度試行するか」という選択問題です。
重要なのは、振り直しを選んだ場合の期待値は常に一定であり、それが基準になるという点です。
1回目の結果が、その基準より良いか悪いかで判断するのが合理的になります。
② 振り直しの価値は常に6の平均（期待値）になる
サイコロを振り直した場合、その期待値は常に
(1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5
になります。
つまり「振り直し」という行動の価値は常に3.5という固定値として扱えます。
③ なぜ「出目＜期待値なら振り直す」が成立するのか
例えば1回目に出た目をxとします。
そのまま受け取る価値はx、振り直す価値は3.5です。
したがって、x < 3.5 のときは振り直す方が期待値が高くなり、x ≥ 3.5 のときは保持する方が有利になります。
④ 「期待値4のサイコロ」のような例への疑問の整理
もし仮に期待値が4のゲームであれば、比較基準は4になります。
その場合、1回目に4が出たときは「保持と振り直しが同価値」となり、どちらを選んでも期待値は変わりません。
4より大きければ保持、4より小さければ振り直しが合理的判断になります。
⑤ 全体の期待値が最大になる理由
この戦略は「各局面で最も期待値が高い選択を取る」という局所最適の積み重ねです。
振り直しを選んだ場合の価値が常に一定であるため、その値を基準に比較することで全体の期待値も最大化されます。
これは動的計画法的な考え方であり、各状態で最適選択をすることで全体最適が保証されます。
⑥ まとめ
振り直し可能なサイコロ問題では、「振り直しの期待値＝基準値」として扱うことがポイントです。
その基準より良い結果なら保持し、悪いなら振り直すというルールは、期待値最大化の定義そのものから導かれます。
直感的に見えるルールも、比較対象を明確にすることで論理的に説明することができます。
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