a²−b²の因数分解が(a−b)(a+b)になる理由｜展開で理解する高校数学の基本公式

数学の因数分解でよく出てくる「a²−b²＝(a−b)(a+b)」という公式は、一見すると不思議に見えるかもしれません。本記事では、この式変形の意味を展開の仕組みから丁寧に解説し、「なぜ(a²+ab+b²)にならないのか」という疑問も含めて整理します。

a²−b²の正しい因数分解の形

まず結論から言うと、a²−b²は「(a−b)(a+b)」と因数分解されます。

これは「平方の差の公式」と呼ばれる基本的な公式です。

重要なのは「展開すると元の式に戻るかどうか」という視点です。

(a−b)(a+b)を展開すると次のようになります。

a×a + a×b − b×a − b×b

整理すると a² + ab − ab − b² となり、abが打ち消し合って a²−b² になります。

(a²+ab+b²)は、因数分解の結果ではなく「別の式」です。

例えば(a+b)²を展開すると a²+2ab+b² になりますが、これとも一致しません。

つまり「+ab」が残る形は、a²−b²とは構造が全く異なります。

因数分解は「展開の逆操作」です。

そのため、元の式に戻るような組み合わせを探す必要があります。

a²−b²では「中間項が消える組み合わせ」が自然な形になります。

a²−b²＝(a−b)(a+b)は頻出の公式として暗記されることが多いですが、理由を理解すると応用が効きます。

例えば因数分解や方程式の解法で素早く変形できるようになります。

単なる暗記ではなく「展開して確認できる形」として理解することが重要です。

a²−b²は(a−b)(a+b)と表されるのは、展開すると中間項が打ち消し合うためです。

(a²+ab+b²)のような形は別の式であり、同じものではありません。

因数分解は“展開の逆”という視点で考えると、本質的な理解が深まります。