数列の問題でよく出てくる「Sn−Sn-1」の計算は、式の意味と代入の仕方が分かると一気に理解しやすくなります。本記事では、Sn=n²-3nのときにSn-1へどのように代入するのかを、手順を追って整理して解説します。
結論：Sn-1は「nの代わりにn-1を入れた式」
まず最も重要なポイントは、Sn-1はSnのnを(n-1)に置き換えた式になるということです。
今回のSn=n²-3nにおいては、nをそのまま(n-1)に変換して計算します。
つまり Sn-1 = (n-1)² – 3(n-1) となります。
Sn-1の正しい代入のやり方
Sn-1を作るときは、すべてのnを丁寧に(n-1)に置き換えます。
Sn = n² – 3n の「n²」も「-3n」も両方変えるのがポイントです。
Sn-1 = (n-1)² – 3(n-1) と書き換えたら展開の準備が完了です。
(n-1)²と-3(n-1)の展開
まず (n-1)² は n² – 2n + 1 になります。
次に -3(n-1) は -3n + 3 になります。
これらをまとめると Sn-1 = n² – 2n + 1 – 3n + 3 となります。
Sn-1を整理する
同類項をまとめると Sn-1 = n² – 5n + 4 になります。
この形にできれば Sn−Sn-1 の計算に進む準備が整います。
式変形の段階では符号ミスが最も多いので注意が必要です。
Sn−Sn-1を計算する流れ
Sn−Sn-1 = (n² – 3n) – (n² – 5n + 4) となります。
括弧を外すと n² – 3n – n² + 5n – 4 です。
整理すると 2n – 4 が答えになります。
よくあるつまずきポイント
Sn-1で「n-1を代入する」ことを忘れてしまうミスが多いです。
また、(n-1)²の展開ミスや符号のミスも頻出ポイントです。
一つずつ丁寧に置き換えることで確実に解けるようになります。
まとめ
Sn-1は「nをn-1に置き換えた式」であることが基本です。
そこから展開と整理を行えば、Sn−Sn-1は機械的に計算できます。
式変形は手順を固定して覚えることで安定して解けるようになります。
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