パラメータ表示された曲線 x=cos³θ, y=sin³θ によって囲まれる面積を求める問題は、積分とパラメータ曲線の基本理解を問う典型的な解析問題です。本記事では、対称性と積分公式を用いた標準的な解法を整理します。
曲線の形状と対称性の確認
与えられた曲線は x=cos³θ, y=sin³θ で表される閉曲線です。
この曲線は原点対称かつ四象限対称であり、全体の面積は第1象限の4倍で求めることができます。
そのため、積分区間を0≦θ≦π/2に限定するのが基本戦略です。
パラメータ曲線の面積公式
パラメータ表示された曲線の面積は次の式で求めます。
S = ∫ y (dx/dθ) dθ
符号に注意しつつ絶対値または区間調整を行います。
微分計算：dx/dθ の導出
x = cos³θ を微分すると dx/dθ = 3cos²θ(-sinθ) = -3cos²θ sinθ となります。
y = sin³θ と組み合わせることで積分式が構成されます。
したがって y(dx/dθ) = sin³θ · (-3cos²θ sinθ) = -3 sin⁴θ cos²θ となります。
積分の計算と対称性の利用
第1象限の面積は S1 = ∫₀^{π/2} 3 sin⁴θ cos²θ dθ と整理できます（符号調整済み）。
この積分はベータ関数または三角関数の標準積分で評価可能です。
結果として S1 = π/16 となり、全体面積は4倍で求まります。
全体の面積結果
全体の囲まれた面積は 4 × (π/16) = π/4 となります。
これは典型的なアステロイド型曲線の面積結果として知られています。
パラメータ曲線では対称性を活用することで計算量を大幅に削減できます。
まとめ
x=cos³θ, y=sin³θ の曲線は対称性を持つ閉曲線であり、パラメータ積分により面積を求めることができます。
基本公式と三角関数積分を組み合わせることで解析的に解が得られます。
結果として囲まれる面積は π/4 となります。
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