三角方程式を解いていると「sinθ = -1 のとき θ = 3π/2 になる理由がわからない」という疑問に出会うことがあります。特に単位円のイメージが曖昧なままだと、値と角度の対応が直感的に結びつきにくくなります。本記事では、sinの定義を単位円から整理しながら、なぜ3π/2になるのかを解説します。
sinθの意味を単位円で理解する
sinθは単位円上の点の「y座標」を表しています。
角度θを原点から見て回転させたとき、その位置の高さがsinθです。
つまりsinの値は円の上下方向の位置そのものを意味します。
sinが1/2になる場合との違い
sinθ = 1/2 の場合は、単位円の上半分に2つの解があります。
具体的にはθ = π/6と5π/6で、どちらもy座標が1/2の位置です。
これは上半円に同じ高さが2回現れるためです。
sinθ = -1 はどの位置か
sinθ = -1 は単位円の中で「最も下の点」を意味します。
単位円でy座標が最小になるのは真下の点であり、その位置は1つしかありません。
この点に対応する角度がθ = 3π/2です。
なぜ3π/2になるのか
角度は通常、右方向（x軸正方向）から反時計回りに測ります。
0から回転していくと、π/2で上、πで左、3π/2で下に到達します。
そのため最も下の点は3π/2で表されます。
360°との関係で考える
3π/2は度数法では270°に相当します。
0°から270°回転した位置がちょうど単位円の最下点になります。
また同じ位置は-π/2とも表せますが、通常は0〜2πの範囲で3π/2が使われます。
まとめ
sinθは単位円のy座標を表すため、sinθ = -1 は円の最も下の点に対応します。
その位置は角度で表すと3π/2（270°）であり、これが答えになる理由です。
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