数列の和や式の変形を利用する問題では、一見複雑に見える計算も「公式」や「差の構造」に注目することで大きく簡略化できます。本記事では、1+2+3+…+99の和を利用しながら、(1²-2²)+(3²-4²)+…+(97²-98²)をどのように計算するか、その考え方を整理して解説します。
まずは1+2+3+…+99の和を求める
自然数の和は公式「n(n+1)/2」を使うことで一瞬で求めることができます。
今回の場合はn=99なので、99×100/2=4950となります。
この値は後半の式変形でも重要な基準となります。
平方の差の式を整理する
(a²-b²)は因数分解すると(a-b)(a+b)に変形できます。
今回の式は(1²-2²)+(3²-4²)+…と並んでいるため、各項を分解すると規則性が見えてきます。
具体的には、それぞれの項が「差」と「和」の積として扱えることがポイントです。
項ごとの構造に注目する
(1²-2²)= (1-2)(1+2)、(3²-4²)= (3-4)(3+4)というように整理できます。
すると各項はすべて「-1×(連続する2数の和)」という形になります。
つまり、和の部分だけを整理すれば全体の計算が可能になります。
全体の和としてまとめる
各項の和は -(1+2) -(3+4) -(5+6) … -(97+98) となります。
これは偶数・奇数のペアの和をまとめたものなので、(1+2+3+…+98)の分割と考えられます。
よって、全体の和を利用することで効率的に計算できます。
計算結果と考え方のまとめ
まず1〜98の和は98×99/2=4851です。
したがって全体はその負の値となり、-4851が答えになります。
式変形を利用することで、複雑な平方の差も基本的な和の公式で処理できることがポイントです。
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