tan(θ + π/6) ≦ -√3 の不等式の解法と途中式について

今回は、「tan(θ + π/6) ≦ -√3」という不等式を解く方法について解説します。特に、途中式での範囲設定に悩む方も多いと思いますので、詳しく説明していきます。

問題の確認

まず、問題の式は「tan(θ + π/6) ≦ -√3」です。この不等式を解くためには、tanの値が-√3となるθの範囲を求め、それを基に不等式の範囲を解く必要があります。

tan(θ + π/6) = -√3となる角度θ + π/6は、tanの周期性を利用して、tanが-√3となる標準角を求めます。tan(θ) = -√3は、θ = -π/3 + nπ (nは整数) に該当します。このため、θ + π/6 = -π/3 + nπ の式を解いて、θの範囲を求めます。

θ + π/6 = -π/3 + nπ

θ = -π/3 – π/6 + nπ = -π/2 + nπ

したがって、θ + π/6が-π/2 + nπであることがわかります。これをもとに、tan(θ + π/6) ≦ -√3を満たすθの範囲を決定します。

次に、範囲を設定します。問題で与えられた範囲0 ≦ θ < 2π内で不等式が満たされるθを求めると、以下の2つの範囲が求まります。

1. π/2 < θ + π/6 ≦ 2/3π

2. 2/3π < θ + π/6 ≦ 5/3π

それでは、上記の範囲を用いてθの範囲を求めます。

まず、π/2 < θ + π/6 ≦ 2/3π から、θの範囲を引き算して求めます。

π/2 – π/6 < θ ≦ 2/3π - π/6

π/3 < θ ≦ π/2

次に、2/3π < θ + π/6 ≦ 5/3π からも同様に引き算してθを求めます。

2/3π – π/6 < θ ≦ 5/3π - π/6

4/3π < θ ≦ 3/2π

したがって、不等式tan(θ + π/6) ≦ -√3を満たすθの範囲は、

π/3 < θ ≦ π/2 と 4/3π < θ ≦ 3/2π

この問題では、tan関数の性質を使って、θの範囲を求めることができました。式を展開し、不等式を満たす範囲を整理することで、最終的な解答を導きました。このような問題は、トリゴンメトリックな関数を使って解くのが鍵です。