群論の問題で、2つの素数pとqに対応する群GとHが与えられ、Gの位数がp、Hの位数がqの場合、群の直積G×Hの自己同型群Aut(G×H)の位数を求める問題について解説します。この問題を解くためには、群論における基本的な定理と直積群の特性を理解する必要があります。
直積群の構造と自己同型群
まず、直積群G×Hの基本的な構造を理解しましょう。G×Hは、群Gと群Hの元の組み合わせからなる群です。つまり、G×Hの元は、(g,h)という形で、gはGの元、hはHの元です。
次に、G×Hの自己同型群Aut(G×H)について考えます。自己同型群とは、その群自身と同型な群の同型写像の集合を指します。Aut(G×H)は、G×HからG×Hへの同型写像全体を表し、その位数を求めることが目的です。
自己同型群の位数の求め方
Aut(G×H)の位数を求めるには、GとHの自己同型群の位数と、G×Hの間でGとHをどのように関連付けるかを考える必要があります。
群GとHの位数がそれぞれpとqであるとき、GとHはそれぞれ単純な群です。したがって、Aut(G)とAut(H)の位数をそれぞれ求めることができ、Aut(G×H)はAut(G)×Aut(H)の直積群になります。
実際の計算手順
ここでは、具体的な計算手順を紹介します。まず、Gの位数がpのとき、Aut(G)は自明な自己同型群を持ちます。同様に、Hの位数がqのときも、Aut(H)は自明な自己同型群を持ちます。
したがって、Aut(G×H)の位数は、Aut(G)とAut(H)の積として求めることができます。これにより、Aut(G×H)の位数を簡単に求めることができます。
まとめ
この問題では、群の直積G×Hの自己同型群Aut(G×H)の位数を求めるために、GとHの位数がそれぞれpとqであることを利用しました。Aut(G×H)の位数は、Aut(G)とAut(H)の積として計算できることがわかりました。これにより、群論の基本的な定理を用いて問題を解くことができました。
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