ガウス型積分に三角関数が組み合わさった形は、フーリエ解析や確率論でも頻出する重要な積分です。本記事では、∫₀^∞ e^{-x^2}cos(αx)dxの求め方を、基本となるガウス積分との関係から整理して解説します。
基本となるガウス積分の復習
まず基礎として、最も重要なのは∫₀^∞ e^{-x^2}dx = √π/2という結果です。
これは正規分布の正規化定数にも現れる有名な積分です。
今回の問題はこの構造にcos(αx)が掛かった拡張版と考えられます。
複素指数関数への変換が鍵
cos(αx)はオイラーの公式よりcos(αx) = Re(e^{iαx})と表せます。
そのため積分全体をRe(∫₀^∞ e^{-x^2 + iαx} dx)として扱うことができます。
この変形により指数関数の平方完成が可能になります。
平方完成による標準形への変形
指数部分 -x^2 + iαx は -(x – iα/2)^2 – α^2/4 と変形できます。
これにより積分はガウス積分の形に帰着されます。
複素平面への平行移動を使って評価できる点が重要です。
無限区間ガウス積分の評価
変数変換を行うと、積分は e^{-α^2/4} ∫₀^∞ e^{-u^2} du の形に近づきます。
ここで半区間のガウス積分 √π/2 を利用します。
したがって実部を取ることで最終結果が得られます。
最終結果と標準公式
結論として、∫₀^∞ e^{-x^2}cos(αx)dx = (√π/2) e^{-α^2/4} となります。
この結果はフーリエ変換におけるガウス関数の自己再現性を示しています。
確率論や信号処理でも頻繁に利用される基本公式です。
まとめ
本積分は複素化と平方完成によりガウス積分へ帰着できます。
cos関数は指数関数に変換することで扱いやすくなります。
結果としてガウス関数のフーリエ的性質がそのまま現れる形になります。
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