x²−5x+6>0の解がx3になる理由｜なぜ2と3を含まないのかを徹底解説

二次不等式「x²−5x+6>0」の解が「x<2, x>3」となる理由について、なぜ2や3を含まないのか疑問に感じる人は多いです。本記事では、因数分解から不等式の意味までを順を追って整理し、境界値の扱いがなぜ重要なのかを解説します。

まずは式を因数分解する

与えられた式 x²−5x+6 は、因数分解すると (x−2)(x−3) になります。

この形にすることで、不等式は「(x−2)(x−3)>0」とシンプルに整理できます。

ここから符号の変化を考えることが解法の出発点になります。

(x−2)(x−3)>0 は「2つの因子の積が正である」という意味です。

積が正になるのは「両方が正」または「両方が負」の場合です。

つまり x>3 または x<2 のときに成立します。

ここが最も重要なポイントで、>0 という不等号が「0を含まない」ことを意味しています。

例えば x=2 のとき (x−2)=0 となり、積は0になってしまいます。

同様に x=3 でも積は0となるため条件を満たしません。

数直線上で2と3を境に3つの領域に分けると、符号の変化が視覚的に分かります。

左側（x<2）は正、間（23）は正になります。

この符号変化が解の区間を決める本質です。

「=を含まないのに境界を含めていいのでは？」という誤解がよくあります。

しかし不等式では境界値は必ず別扱いになり、厳密に除外されます。

そのため解は「x<2 または x>3」となり、2と3は含まれません。

この不等式は因数分解によって構造を明らかにし、符号の正負で解を判断する問題です。

2と3は積を0にしてしまうため条件を満たさず、解から除外されます。

不等式は「境界を含むかどうか」が本質であり、それを理解すると同種の問題も整理しやすくなります。