この問題では、2つの等差数列が与えられています。一つは4,7,10,13,…という数列、もう一つは2000,1995,1990,…という数列です。これらの数列に共通する項がいくつあるのかを求める問題です。等差数列の共通項を求めるために、まずそれぞれの数列の一般項を求め、次に両者が一致する条件を考えます。
等差数列の一般項の求め方
等差数列の一般項を求めるには、以下の公式を使用します。
a_n = a_1 + (n – 1) × d
ここで、a_nはn番目の項、a_1は初項、dは公差です。
最初の数列の一般項
最初の数列は4,7,10,13,…です。この数列の初項は4、公差は3です。したがって、この数列の一般項は次のように表されます。
a_n = 4 + (n – 1) × 3 = 3n + 1
次の数列の一般項
次の数列は2000,1995,1990,…です。この数列の初項は2000、公差は-5です。したがって、この数列の一般項は次のように表されます。
b_m = 2000 + (m – 1) × (-5) = 2005 – 5m
共通項を求める
次に、これらの数列が共通する項を求めます。共通項が存在するためには、a_n = b_m となるnとmが存在する必要があります。したがって、以下の方程式を解きます。
3n + 1 = 2005 – 5m
この方程式を解くために、mをnの関数として表すことができます。まず、mについて解きます。
5m = 2005 – 3n – 1
5m = 2004 – 3n
m = (2004 – 3n) / 5
ここでmが整数であるためには、2004 – 3nが5で割り切れる必要があります。この条件を満たすnの値を求めるために、2004 – 3n ≡ 0 (mod 5)を解きます。
nの範囲を求める
nの範囲を求めるには、2004 – 3nが5の倍数である必要があるため、2004を5で割った余りを考えます。2004 ÷ 5 = 400余り4です。したがって、2004 – 3n ≡ 0 (mod 5)を満たすnの値は、次のように求められます。
3n ≡ 4 (mod 5)
n ≡ 3 (mod 5)
この条件を満たすnの値は、n = 5k + 3（kは整数）です。さらに、nの範囲は1以上の自然数であり、共通項が2000以下であるため、nの範囲を求めます。
まとめ
nの値は5k + 3の形をしており、共通項が2000以下であるため、kの範囲を求めるとk = 0, 1, 2, 3, 4の5つの値が得られます。したがって、共通項の個数は5個であることがわかります。
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