関数の積分と対数が絡む不等式は、一見すると複雑に見えますが、実は「対数関数の凹性」と「平均値の不等式（Jensenの不等式）」を使うことで自然に示すことができます。本記事では、与えられた条件のもとでの不等式を丁寧に証明し、その意味も直感的に解説します。
問題の整理と与えられている条件
まず、与えられている条件を整理します。
関数 f(x) は区間 [a,b] で連続かつ f(x)>0 です。
示すべき不等式は次の通りです。
1/(b-a)∫[a,b]log f(x) dx ≤ log(1/(b-a)∫[a,b] f(x) dx)
これは「対数と平均」の関係を示す不等式です。
使用する重要な考え方：Jensenの不等式
この問題の核心は、対数関数 log(x) が「凹関数」であるという性質です。
凹関数 φ に対しては、次のJensenの不等式が成立します。
φ(平均) ≥ 平均(φ)
つまり、
log(平均) ≥ 平均(log)
という形になります。
これを積分の形に拡張したものが今回の問題です。
不等式の変形と証明の流れ
平均値を積分で表すと次のようになります。
平均値 = 1/(b-a)∫[a,b] f(x) dx
同様に、logの平均は
1/(b-a)∫[a,b] log f(x) dx
となります。
Jensenの不等式より、
log(1/(b-a)∫[a,b] f(x) dx) ≥ 1/(b-a)∫[a,b] log f(x) dx
が成立し、示すべき不等式が得られます。
なぜlogはこの性質を持つのか（直感的理解）
log(x) は下に凸ではなく「上に凹んでいる」関数です。
このため、値を平均してからlogを取る方が、logを取ってから平均するよりも大きくなります。
例えば数値で考えると、極端な値の影響が平均に対して強く抑えられるのが特徴です。
この性質が「平均と非線形変換の順序の違い」を生みます。
積分との関係（離散平均との差）
積分は本質的に「無限に細かい平均」です。
そのため、離散版のJensenの不等式を極限的に拡張したものが今回の不等式です。
つまり本質は「確率の期待値」と同じ構造です。
確率論では E[log X] ≤ log E[X] としても知られています。
まとめ
与えられた不等式は、log関数の凹性とJensenの不等式を用いることで自然に証明できます。
ポイントは「積分＝平均」と捉え直すことです。
この視点を持つことで、今回のような対数と積分が絡む不等式は一貫した理論で整理できるようになります。
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