高校物理で登場するばねの問題では、「弾性エネルギーが運動エネルギーに変換される」という考え方が非常に重要です。特に、なめらかな水平面上での単振動やばねの運動では力学的エネルギー保存則を使うことで簡単に解ける場合が多くあります。本記事では、ばねを伸ばして静かに離した物体が自然長に戻る瞬間の速さを求める考え方を解説します。
このタイプの問題で最初に確認すること
問題文に「なめらかな水平面」とある場合、摩擦力は働かないと考えます。
また「静かに離した」とある場合、最初の速さは0m/sです。
つまり最初はばねの弾性エネルギーだけを持ち、そのエネルギーが運動エネルギーへ変換される問題だと判断できます。
力学的エネルギー保存則を使う
摩擦がないため、力学的エネルギーは保存されます。
最初の状態ではばねが0.80m伸びており、弾性エネルギーは次の式で表せます。
弾性エネルギー = 1/2 kx²
ここで、ばね定数k=20N/m、伸びx=0.80mを代入すると、
1/2 × 20 × (0.80)² = 6.4J
となります。
つまり最初の力学的エネルギーは6.4Jです。
自然長では弾性エネルギーが0になる
ばねが自然長になった瞬間は、伸びも縮みもありません。
したがって弾性エネルギーは0Jになります。
保存されている6.4Jはすべて運動エネルギーへ変わります。
運動エネルギーの式は次の通りです。
運動エネルギー = 1/2 mv²
物体の質量m=3.2kgなので、
1/2 × 3.2 × v² = 6.4
となります。
速さを計算してみる
式を整理すると、
1.6v² = 6.4
v² = 4
v = 2.0
となります。
速さは負にならないため、答えは2.0m/sです。
別解として公式を利用する方法
エネルギー保存則から導かれる次の関係式を覚えている場合もあります。
1/2kx² = 1/2mv²
両辺の1/2を消すと、
kx² = mv²
よって、
v = x√(k/m)
となります。
今回の数値を代入すると、
v = 0.80 × √(20/3.2)
＝0.80 × 2.5
＝2.0m/s
と同じ答えになります。
この問題でつまずきやすいポイント
多くの人は「ばねの力を使って加速度を求めるのでは」と考えがちですが、この問題では加速度は位置によって変化するため、等加速度運動の公式は使えません。
一方、摩擦がないことからエネルギー保存則を使うと一度の計算で求められます。
| 考え方 | 向いている場面 |
|---|---|
| 運動方程式 | 力や加速度を求める問題 |
| エネルギー保存則 | 速さや位置を求める問題 |
| 単振動の公式 | 周期や振幅を求める問題 |
まとめ
ばねを0.80m伸ばして静かに離した場合、最初に持つ弾性エネルギー6.4Jが自然長で全て運動エネルギーへ変換されます。力学的エネルギー保存則を用いると、1/2kx²＝1/2mv²となり、物体の速さは2.0m/sと求められます。ばねの運動では、まずエネルギー保存則が使えないかを確認することが解法の近道です。
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