複素指数関数の積分を解説：∫₀²π e^{i(n+1)θ} dθ の計算方法

フーリエ級数や複素解析を学び始めると、複素指数関数の定積分を計算する機会が増えます。その中でも、∫₀²π e^{i(n+1)θ} dθ は基本的かつ重要な積分です。この記事では、計算手順と結果の意味についてわかりやすく解説します。

問題となる積分

考える積分は次の形です。

ia^(n+1)∫₀²π e^{i(n+1)θ} dθ

まずは積分部分である ∫₀²π e^{i(n+1)θ} dθ を求めます。

複素指数関数の積分公式

一般に、k≠0 のとき

∫ e^{ikθ} dθ = e^{ikθ}/(ik)

が成り立ちます。

ここで k=n+1 とおくと、n+1≠0 の場合

∫₀²π e^{i(n+1)θ} dθ = [e^{i(n+1)θ}/(i(n+1))]₀²π

上端と下端を代入する

θ=2π を代入すると

e^{i(n+1)2π}

となります。

n が整数であれば、オイラーの公式より

e^{i2π(n+1)}=1

です。

また θ=0 のときも e^0=1 ですから、

(1-1)/(i(n+1))=0

となります。

n=-1 の場合に注意

n=-1 のときは、指数部分が e^0=1 になります。

したがって積分は

∫₀²π 1 dθ = 2π

となります。

この場合は分母に n+1 が現れる積分公式を直接使えないため、別扱いが必要です。

元の式の値

以上より、整数 n に対して

a^0=1 を用いました。

なぜ0になるのか

複素平面上で e^{i(n+1)θ} は単位円を回転する関数です。n+1≠0 のとき、θが0から2πまで変化するとちょうど一周し、正負の寄与が打ち消し合います。

そのため積分値は0になります。これはフーリエ級数の直交性の基本原理でもあります。

まとめ

積分 ∫₀²π e^{i(n+1)θ} dθ は、整数 n に対して n≠-1 なら0、n=-1 なら2πになります。

したがって元の式 ia^(n+1)∫₀²π e^{i(n+1)θ} dθ は、n≠-1 のとき0、n=-1 のとき2πiとなります。この結果は複素フーリエ解析や留数計算の基礎として頻繁に利用されます。