整数論において、二つの整数aとbが互いに素（最大公約数が1）である場合、b-aとaも互いに素かどうかは気になるテーマです。この概念を理解するには、最大公約数（gcd）の性質を考えることがポイントです。
互いに素とは何か
二つの整数aとbが互いに素であるとは、gcd(a,b)=1、すなわちaとbが1以外の共通の約数を持たないことを意味します。
差との関係
ここでb-aとaの関係を考えます。数学的には、gcd(a,b-a)=gcd(a,b)という性質が成り立ちます。この性質により、aとbが互いに素であれば、aとb-aもまた互いに素となります。
例えば、a=3, b=8の場合、gcd(3,8)=1なので3と8は互いに素です。そしてb-a=8-3=5、gcd(3,5)=1であるため、3と5も互いに素です。
一般的な証明
整数a,bに対して、任意の整数m,nに対し、gcd(a,b)=gcd(a,b-ka)（kは任意の整数）という性質が成り立ちます。これをk=1に適用すると、gcd(a,b)=gcd(a,b-a)となり、b-aとaも互いに素であることが保証されます。
まとめ
結論として、aとbが互いに素であれば、b-aとaも必ず互いに素です。差をとっても共通の因数は生じないため、この性質は整数論の基本的な知識として覚えておくと便利です。
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