S² が 2 次元 C^∞ 級微分可能多様体であることの証明と局所座標系の構成

単位球面 S² = { (x, y, z) ∈ ℝ³ | x² + y² + z² = 1 } が 2 次元の滑らかな多様体であることを示すには、局所座標系 (chart) を適切に構成し、S² 上の任意の点で微分同相を与えることが有効です。

1. 局所座標系の考え方

多様体の定義に従い、S² 上の各点 p に対して開集合 U ⊂ S² と写像 φ: U → ℝ² を作ります。φ は滑らかで逆写像も滑らかである必要があります。

球面上では、極座標系や射影座標系 (stereographic projection) が一般的です。

北極 (0,0,1) を避けた部分 S² \ {north pole} に対して、平面 z=0 への射影写像を φ_N: (x,y,z) ↦ (X,Y) = (x/(1-z), y/(1-z)) と定義します。

逆写像は (X,Y) ↦ (2X/(1+X²+Y²), 2Y/(1+X²+Y²), ( -1 + X² + Y²)/(1+X²+Y²) ) となり、φ_N は滑らかで逆写像も滑らかです。

同様に南極 (0,0,-1) を避けた部分 S² \ {south pole} に対して、平面 z=0 への射影 φ_S: (x,y,z) ↦ (x/(1+z), y/(1+z)) を構成します。

この 2 つのチャート φ_N, φ_S によって S² 全体が滑らかに覆われ、重なり部分での座標変換も滑らかであることが確認できます。

各チャートは ℝ² に写るため次元は 2 であり、射影写像の微分は滑らかで、逆写像も滑らかです。したがって S² は 2 次元の C^∞ 級微分可能多様体となります。

適切な局所座標系 (射影座標系) を構築することで、S² が滑らかな 2 次元多様体であることを明示的に示せます。北極・南極を除いた各部分で座標写像を滑らかに定義し、重なり部分でも滑らかさが保たれることがポイントです。