高校数学Ⅰで学ぶ二次関数のグラフでは、定義域とパラメータの範囲が与えられた場合の最大値・最小値を求める問題がよく出題されます。今回は、関数 3(x-a)^2 – 3a^2 + 2 (0≦x≦2, 0≦a≦2) の最大値・最小値の求め方を解説します。
関数の基本形と頂点
関数 f(x) = 3(x-a)^2 – 3a^2 + 2 は二次関数の平方完成形です。
頂点は x = a にあり、頂点の値は f(a) = -3a^2 + 2 となります。
二次の係数 3 が正なので、上に凸の放物線になります。
定義域 0≦x≦2 での最大・最小値
二次関数の最大値・最小値は、頂点の値と定義域の端点の値のうちで決まります。
端点での値は次の通りです。
f(0) = 3a^2 – 3a^2 + 2 = 2
f(2) = 3(2-a)^2 – 3a^2 + 2 = 3(4 – 4a + a^2) – 3a^2 + 2 = 12 – 12a + 3a^2 – 3a^2 + 2 = 14 – 12a
a の範囲による頂点と端点の比較
頂点の値：f(a) = -3a^2 + 2
端点の値：f(0) = 2, f(2) = 14 – 12a
a の範囲は 0≦a≦2 です。
- f(a) の最大値は a=0 で f(0)=2
- f(a) の最小値は a=2 で f(2) = -10
- f(2) の端点値 f(2) = 14 -12a は a=0 で 14、a=2 で -10
f(0) = 2 は a に関係なく一定です。
最大値・最小値の決定
すべての値を a の範囲で比較します。
- 最大値: f(2) の a=0 のとき 14
- 最小値: f(a) の a=2 のとき -10
したがって、最大値は 14、最小値は -10 となります。
まとめ
関数 3(x-a)^2 – 3a^2 + 2 の定義域 0≦x≦2、パラメータ 0≦a≦2 の範囲におけるグラフの最大値・最小値は次の通りです。
- 最大値：14
- 最小値：-10
ポイントは、二次関数の頂点と定義域の端点を比較し、a の範囲内での最大・最小を検討することです。
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