x^3 + y^3 - 3xy + 1 の因数分解解説

この問題では、x^3 + y^3 – 3xy + 1 の式を因数分解する方法を解説します。具体的な手順と公式を利用しながら、どのように因数分解が進むのかを見ていきましょう。

問題の式と目標

与えられた式は x^3 + y^3 – 3xy + 1 です。この式を因数分解して、最終的な答えを求めます。目標は以下の形に因数分解することです。

(x + y + 1)(x^2 – xy + y^2 – x – y + 1)

まず、この式は x^3 + y^3 の項を使って因数分解できることに着目します。x^3 + y^3 はよく知られている公式 x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 – xy + y^2) に従います。この式に当てはめて、式を部分的に分けてみましょう。

式の最初の部分を展開すると、x^3 + y^3 – 3xy という形になります。ここで注意すべきは、- 3xy の項が残ることです。これをうまく処理していきます。

-3xy の項に注目し、これを因数分解に組み込む方法を考えます。x^3 + y^3 の因数分解の形を用いると、以下の式に整理できます：
(x + y)(x^2 – xy + y^2) – 3xy + 1

ここで、- 3xy をうまく組み合わせて、新たな因数を作り出します。この部分の計算により、最終的に残りの項が一致するように式を展開します。

最終的に、式は以下のように因数分解されます：
(x + y + 1)(x^2 – xy + y^2 – x – y + 1)

このように、x^3 + y^3 – 3xy + 1 を因数分解することができます。ステップを踏んで進めることで、どのように因数分解が行われるかが明確になります。

この問題のように、因数分解では公式を適用しつつ、残りの項をうまく組み合わせていくことが重要です。公式を覚えて、実際の問題に応用することで、因数分解の理解を深めていきましょう。