数学で「ある集合が演算について閉じている」という表現は、高校数学や大学の代数学で頻繁に登場します。特に「2の倍数は加法や減法について閉じているのか」という疑問は、閉じている集合の定義を理解するうえで良い例題です。この記事では、閉じているとはどういう意味なのか、2の倍数を例にしながらわかりやすく解説します。
閉じている集合とは何か
集合がある演算について閉じているとは、その集合の要素同士で演算を行った結果が、再びその集合の中に含まれることを意味します。
例えば整数全体の集合では、整数同士を足しても引いても結果は整数になります。そのため整数の集合は加法と減法について閉じています。
「計算しても集合の外に出ない」というイメージで考えると理解しやすいでしょう。
2の倍数は加法について閉じている
2の倍数をそれぞれ2a、2bと表します。
このとき加法を行うと、2a＋2b＝2(a＋b)となります。
a＋bは整数なので、結果は再び2の倍数になります。
例えば4＋8＝12、10＋14＝24のように、2の倍数同士を足した結果は必ず2の倍数になります。
2の倍数は減法についても閉じている
同様に、2の倍数同士の差を考えます。
2a－2b＝2(a－b)となり、a－bも整数です。
したがって結果も2の倍数になります。
例えば14－6＝8、8－12＝－4となり、負の数になった場合でも2の倍数であることに変わりはありません。
「加法と減法のみで閉じている」と言えるのか
2の倍数の集合は加法と減法について閉じています。
さらに乗法についても閉じています。なぜなら、(2a)(2b)=4ab=2(2ab)となり、結果も2の倍数だからです。
一方で除法については閉じていません。例えば4÷2＝2は2の倍数ですが、6÷2＝3は2の倍数ではありません。
そのため「加法と減法のみで閉じている」と言うと、乗法について閉じていないという誤解を招く可能性があります。
試験で使える証明の考え方
閉じていることを示す問題では、まず集合の要素を文字で表すのが基本です。
2の倍数なら2aや2b、3の倍数なら3aや3bという形で置きます。
その後、指定された演算を行い、元の形に戻せることを示します。
| 演算 | 結果 | 閉じているか |
|---|---|---|
| 加法 | 2a+2b=2(a+b) | ○ |
| 減法 | 2a-2b=2(a-b) | ○ |
| 乗法 | (2a)(2b)=4ab | ○ |
| 除法 | 6÷2=3など | × |
まとめ
2の倍数の集合は加法と減法について閉じています。なぜなら、2の倍数同士を足したり引いたりした結果も必ず2の倍数になるからです。ただし、2の倍数は乗法についても閉じているため、「加法と減法のみで閉じている」という表現は厳密には適切ではありません。閉じているかどうかを判断する際は、演算後の結果が再び同じ集合に属するかを確認することが重要です。
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