交換子群の剰余群が可換群である理由と証明

この記事では、交換子群の剰余群が可換群である理由について詳しく解説します。群論における基本的な概念でありながら、理解が難しい部分も多いため、順を追って説明していきます。

交換子群とその役割

まずは、交換子群について理解を深める必要があります。交換子群とは、群Gの元a, bに対して[a, b] = a⁻¹b⁻¹abの形で定義される、元が交換することによって生じる部分群です。交換子群は、群Gの構造においてその群がどれだけ可換かを測る重要な役割を担います。

剰余群とは、ある群Gとその部分群Hに対して、G/Hという新たな群を構成する方法です。この群は、Gの元をHの左陪集合として構成されたもので、群の演算はHの元による右同値類で定義されます。

交換子群の剰余群が可換群である理由を簡潔に述べると、交換子群自体が群の可換性を反映しているため、剰余群も自然に可換になるからです。交換子群がGの元が交換可能かどうかを示す一つの指標となるため、その剰余群も可換群になる性質を持っています。

証明のためには、交換子群NがGの部分群であり、剰余群G/Nの元が必ず交換可能であることを示さなければなりません。具体的には、G/N内での元の演算が可換であることを確認します。具体的な計算を通じて、この性質を示します。

1. Gの元a, bに対して、[a, b] = a⁻¹b⁻¹abが交換子群であることを確認します。
2. G/Nの元が交換子群における商群であることを示し、剰余群の演算が可換であることを確認します。
3. 最終的に、剰余群G/Nが可換群であることが証明されます。

交換子群の剰余群が可換群である理由は、交換子群の構造が群の可換性を示し、その剰余群が自動的に可換性を持つためです。この証明過程を理解することで、群論における深い知識を得ることができます。