φ(y)の積分の計算とその解法について

このページでは、与えられた積分問題を解く過程とその解法を説明します。問題は、関数φ(y)を求める積分式を解くもので、途中で収束や微分に関する知識が必要になります。

問題の整理と積分式の確認

問題で与えられている式は次のようになります。
φ(y) = ∫₀^∞ e^(-xy) (sin x) / x dx。
この積分式に対して、まずy=0のときにφ(0)を求める方法を考えます。

次に、与えられた関数φ(y)に対して微分を行います。微分の結果は、
φ'(y) = -∫₀^∞ e^(-xy) sin x dx = -1 / (1 + y²)。
この式は、収束に関する議論を含んでおり、特に[a,∞]（a>0）での収束の確認が重要です。収束について詳しく理解し、計算を進めます。

次に、φ(∞) – φ(y)の式を評価します。計算を進めると、
φ(∞) – φ(y) = -π/2 + tan⁻¹(y)。
したがって、最終的に、φ(y)は次のように求められます。
φ(y) = π/2 – tan⁻¹(y) (y > 0)。

これで基本的な積分とその解法が完了しましたが、問題の最終的な答えを得るためにさらに詳細な計算を進める必要がある場合があります。数式の計算における微分積分の技術と、収束の理論が重要な役割を果たします。

本記事では、φ(y)を求めるための積分計算方法と、その中での収束に関する理論を解説しました。特に、y=0のときの積分計算から始め、微分を使って解を導きました。数式の進行において収束の理解と微分の使い方がポイントとなるため、数学的なアプローチをしっかりと身につけていきましょう。