高校1年生で学ぶ絶対値を含む方程式は、|X|＋2|X−2|＝5のように複数の絶対値が含まれる場合があります。このような方程式を解くときには、Xの値の範囲によって場合分けを行います。本記事では、なぜ0≦X＜2の範囲で場合分けが必要なのか、具体例を交えてわかりやすく解説します。
絶対値の定義を確認する
絶対値|A|は、Aが0以上のときはそのままA、Aが0未満のときは-Aになります。
したがって、|X|はXが0以上か未満かで値が変わり、|X-2|はXが2以上か未満かで値が変わります。
これにより、複数の絶対値を含む式では、Xの値によって式の形が異なるため、場合分けが必要になります。
なぜ0≦X＜2の場面分けが必要か
式|X|＋2|X−2|＝5を考えると、|X|と|X−2|の符号がXの範囲で変わります。
具体的には。
- X＜0の場合：|X|=-X、|X−2|=-(X-2)
- 0≦X＜2の場合：|X|=X、|X−2|=-(X-2)
- X≧2の場合：|X|=X、|X−2|=X-2
このように0≦X＜2の範囲では、|X|は正、|X−2|は負になるため、式を正確に計算するために場面分けが必要です。
場面分けを用いた具体的な解法
0≦X＜2の範囲で式を変形すると。
|X|＋2|X−2| = X + 2(-X+2) = X – 2X +4 = -X + 4
この式を5と等号で結ぶと、-X + 4 = 5 ⇒ X = -1
しかし、X≧0の範囲ではX=-1は含まれないため、この範囲では解は存在しません。
このように範囲ごとに計算することで、正しい解を導くことができます。
他の範囲での解法との比較
X＜0の範囲では式は- X + 2(-X-2) = -X + 2(-X-2) = …（計算）
X≧2の範囲では式はX + 2(X-2) = …（計算）
このように、各範囲ごとに式を整理して解を求めることで、すべての解を正確に見つけることができます。
まとめ
絶対値を含む方程式では、式の中の各絶対値の符号がXの値によって変わるため、場面分けが必要です。
今回の例では、0≦X＜2の範囲で|X|と|X−2|の符号が異なるため、特別にこの範囲を考慮する必要がありました。
場面分けを行うことで、各範囲における式の正しい形を計算し、正しい解を見つけることが可能になります。
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