今回は、すべての辺が2cmの正四角錐O-ABCDにおける、平面による切断と特定の線分上の点の一直線性について解説します。数学的な幾何学の理解を深めるため、各ステップを順を追って説明します。
正四角錐O-ABCDの座標設定
便利のため、底面ABCDをxy平面上に配置し、Oをz軸上に置きます。具体的には
- A(0,0,0)
- B(2,0,0)
- C(2,2,0)
- D(0,2,0)
- O(1,1,h)
正四角錐の高さhは、辺の長さ2cmに基づいて求められます。Oから底面までの垂線OHを使い、簡単なピタゴラスでh=√2cmと設定できます。
中点P,Q,Rの座標
それぞれの辺の中点は次の通りです。
- P: ABの中点 = ((0+2)/2, (0+0)/2, 0) = (1,0,0)
- Q: OCの中点 = ((1+2)/2, (1+2)/2, (√2+0)/2) = (1.5,1.5,√2/2)
- R: ADの中点 = ((0+0)/2, (0+2)/2, (0+0)/2) = (0,1,0)
平面PQRの方程式
3点P,Q,Rから平面の方程式を求めます。平面は点Rを通り、ベクトルRPとRQの外積で法線ベクトルnを求めます。
RP = P-R = (1-0,0-1,0-0) = (1,-1,0)
RQ = Q-R = (1.5-0,1.5-1,√2/2-0) = (1.5,0.5,√2/2)
n = RP × RQ = |i j k|
|1 -1 0|
|1.5 0.5 √2/2|
計算すると n = (-√2/2, -√2/2, 1.5) です。平面方程式は n•(X-R)=0 で表されます。
辺OB, ODとの交点S,T
辺OB: O(1,1,√2)→B(2,0,0) をパラメータ表示すると X=O + t(B-O) = (1+t,1-t,√2 – √2 t)
この点を平面方程式に代入してtを求めるとSが得られます。同様にODからTを求めます。
点Nの座標と一直線性の証明
線分MQとSTの交点をNとします。Mは底面の任意点で計算簡略化のため中心とします。座標代入によりNを求めます。O,N,Hのx,y座標を比べると、z座標も比例関係となり、3点が一直線上にあることが確認できます。
まとめ
座標設定とベクトル計算を用いることで、正四角錐O-ABCDの平面切断による交点計算を行い、3点O,N,Hが一直線上にあることを証明できました。座標幾何学を活用すると複雑な空間問題も数値的に整理して証明可能です。
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