二次方程式 x²+ax+b=0 において、解と係数の関係は数学の基本事項のひとつです。特に、実数α、βが存在して α+β=-a、αβ=b を満たす場合、判別式 D=a²-4b がどのような値をとるのかを理解することで、二次方程式とその解の関係をより深く把握できます。本記事では、解と係数の関係から判別式の符号を考える方法を解説します。
解と係数の関係とは
二次方程式 x²+ax+b=0 が実数解 α、β を持つとき、次の関係が成り立ちます。
α+β=-a
αβ=b
これはヴィエタの公式と呼ばれるもので、二次方程式の係数と解を結び付ける重要な公式です。
逆に、実数α、βが存在してこれらの条件を満たすなら、方程式は (x-α)(x-β)=0 と因数分解できます。
判別式を解の式で表してみる
判別式 D は通常 D=a²-4b と定義されます。
ここで α+β=-a、αβ=b を代入すると、
D=(α+β)²-4αβ
となります。
さらに展開すると、
D=α²+2αβ+β²-4αβ
D=α²-2αβ+β²
D=(α-β)²
が得られます。
なぜ判別式が負にならないのか
実数の二乗は必ず0以上です。そのため、
D=(α-β)²≧0
が常に成立します。
つまり、実数α、βが存在して α+β=-a、αβ=b を満たしている時点で、判別式が負になることはありません。
判別式が負になる場合は、そもそも実数解が存在せず、解は複素数となります。
具体例で確認する
例えば α=2、β=5 とします。
このとき、
| 項目 | 値 |
|---|---|
| α+β | 7 |
| αβ | 10 |
| a | -7 |
| b | 10 |
したがって方程式は x²-7x+10=0 です。
判別式を計算すると、
D=(-7)²-4×10=49-40=9
また、(α-β)²=(2-5)²=9
となり、両者は一致します。
判別式が0になるケース
αとβが等しい場合には、
D=(α-β)²=0
となります。
例えば x²-6x+9=0 は、(x-3)²=0 と因数分解でき、重解 x=3 を持ちます。
このように判別式が0であることは、2つの解が一致することを意味しています。
まとめ
二次方程式 x²+ax+b=0 において、実数α、βが存在し α+β=-a、αβ=b を満たすなら、判別式は D=(α-β)² と表せます。
実数の二乗は必ず0以上であるため、判別式が負になることはありません。したがって、実数α、βが存在するにもかかわらず判別式が負になるケースは存在しないことが数学的に証明できます。
判別式と解の関係を理解すると、二次方程式の性質をより効率よく判断できるようになります。
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