数IIの図形問題では、「ある直線に関して点と対称な点を求める」という問題がよく出題されます。公式だけを覚えようとすると難しく感じますが、実は「垂直」と「中点」の2つを使えば、順番に整理して解くことができます。
この記事では、「直線 y=-1/2x+1 に関して、点A(3,2)と対称な点Bを求めよ」という問題を例に、考え方から丁寧に解説します。
対称な点を求めるときの基本的な考え方
直線に関して点が対称である場合、次の2つの条件が成り立ちます。
- 対称軸は線分ABの垂直二等分線になる
- 線分ABは対称軸に垂直になる
つまり、まず点Aから対称軸へ垂線を下ろし、その足を求めれば、そこを中心に反対側へ同じだけ進めば点Bになります。
「垂線の足」を求めるのが最重要ポイントです。
問題の直線を整理する
与えられている直線は
y=-1/2x+1
です。
この直線の傾きは -1/2 です。
この直線に垂直な直線の傾きは、逆数にして符号を変えた
2
になります。
つまり、点A(3,2)を通る垂線は
y-2=2(x-3)
となります。
整理すると
y=2x-4
です。
垂線の足を求める
次に、対称軸 y=-1/2x+1 と、垂線 y=2x-4 の交点を求めます。
| 式 | 内容 |
|---|---|
| y=-1/2x+1 | 対称軸 |
| y=2x-4 | Aを通る垂線 |
連立すると
2x-4=-1/2x+1
両辺を2倍して
4x-8=-x+2
5x=10
x=2
これを代入すると
y=0
よって垂線の足をH(2,0)とします。
垂線の足を中点として利用する
対称な点では、垂線の足Hは線分ABの中点になります。
つまり
H(2,0) は A(3,2) と B(x,y) の中点です。
中点公式を使うと
(3+x)/2=2
(2+y)/2=0
となります。
それぞれ解くと
x=1
y=-2
したがって、対称な点Bは
B(1,-2)
となります。
なぜ答えが違って見えることがあるのか
質問では「答えが (8/5,-4/5) になる」とされていますが、この問題設定では通常 B(1,-2) が正しい結果になります。
もし模範解答が (8/5,-4/5) となっている場合は、次の可能性があります。
- 直線の式が異なる
- 点Aの座標が異なる
- 問題文の写し間違い
- 「対称」ではなく別条件の問題
実際に確認すると、B(1,-2) の中点は H(2,0) となり、対称軸上に存在します。またABの傾きは2で、対称軸の傾き-1/2と垂直関係になります。
一方で (8/5,-4/5) を使うと、この条件を満たしません。
このタイプの問題を解くコツ
図形問題では、いきなり座標を求めようとするより、「どんな性質があるか」を整理すると解きやすくなります。
特に対称問題では次の2つを意識すると強いです。
- 対称軸は垂直二等分線
- 垂線の足は中点になる
この2点だけで、多くの問題が解けるようになります。
まとめ
直線に関して対称な点を求める問題では、まず垂線を作り、交点を「中点」として利用するのが基本です。
今回の問題では、点A(3,2)から対称軸 y=-1/2x+1 に垂線を下ろし、その足H(2,0)を求めました。
そしてHを中点として利用することで、対称な点Bは
B(1,-2)
と求められます。
図形問題は「性質」を整理すると、一気に解きやすくなるので、公式だけでなく意味も意識しながら練習してみてください。
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