複素積分を用いた ∫_0^∞ log(x)/(x⁴+1) dx の計算と正確な結果の導き方

積分 ∫_0^∞ log(x)/(x⁴+1) dx は、複素解析の手法を用いることで効率的に評価できます。今回は偏角の制限を設けた一価の対数関数を使用し、積分路を複素平面上で適切に選ぶ方法について解説します。

分解と積分路の設定

まず被積分関数を部分分数分解のように書き換えます：
log(x)/(x⁴+1) = 1/(2i)(log(x)/(x²-i) – log(x)/(x²+i))
= -(i/4)(log(x²)/(x²-i) – log(x²)/(x²+i))

ここで、log(z²) を一価関数にするために偏角 θ を -π/2 < θ < π/2 に制限します。積分路は第1象限上に正の実軸、偏角 π/4 の直線、半径 ε, R の円で囲まれる形に取り、C 上の積分はコーシーの積分定理により 0 となります。

円部分の極限

小円 C_ε 上では、|∫_C_ε log(z²)/(z²+1) dz| ≤ πε|log ε| → 0 (ε→0⁺)
大円 C_R 上では、|∫_C_R log(z²)/(z²+1) dz| ≤ (1/R) log R → 0 (R→∞)

積分路の偏角変換と実軸への変換

積分路を偏角 π/4 方向に変換すると、
Im ∫_0^∞ log(x²)/(x²+i) dx = π²/(4√2)
同様に偏角 -π/4 方向では、
Im ∫_0^∞ log(x²)/(x²-i) dx = -π²/(4√2)

最終的な積分値の計算

よって、元の積分は
I = Re[-(i/4)(∫_0^∞ log(x²)/(x²-i) dx – ∫_0^∞ log(x²)/(x²+i) dx)]
= -(1/4)(-π²/(4√2) – π²/(4√2)) = -π²/(8√2)

まとめ

この結果により、与えられた複素積分の値は正確に -π²/(8√2) であることがわかります。積分路の設定、偏角制限、円弧部分の極限評価を正しく行うことで、複素積分を用いた正しい計算が確認できます。